Фёдор Дмитриевич Гахов родился 19 февраля 1906 года в станице Баталпашинская (г. Черкесск Ставропольского края) в семье сапожника.
Он рано лишился отца, и с детства ему пришлось работать. После окончания Черкесского педагогического техникума в 1925 году поступил во Владикавказе в Горский педагогический институт.
В 1928 году его по рекомендации профессора Л. И. Креера приняли на учёбу в Казанский университет, который он окончил в 1930 году.
В 1934-1937 гг. Ф. Д. Гахов преподавал математику в вузах Свердловска, а затем поступил в аспирантуру Казанского университета, где его научным руководителем был Б. М. Гагаев.
В это время сформировался круг его научных интересов, связанных с решением краевых задач теории аналитических функций и соответствующих им сингулярных интегральных уравнений.
В 1937 Ф. Д. Гахов защитил кандидатскую диссертацию «Линейные краевые задачи теории аналитических функций» . Эта работа была удостоена второй премии на Всесоюзном конкурсе работ молодых ученых.
С 1937 по 1939 год он работал доцентом в Казанском университете, а с 1939 по 1947 год – заведующим кафедрой математического анализа Северо-Осетинского педагогического института.
В 1943 году Ф. Д. Гахов защитил докторскую диссертацию «Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения» . Тогда же, в 1943 году, ему было присвоено звание профессора.
В 1947—1953 гг. Ф. Д. Гахов работал профессором, а затем заведующим кафедрой дифференциальных уравнений Казанского университета.
В 1953—1961 гг. — заведующим кафедрой дифференциальных уравнений Ростовского университета.
С 1961 года до последних дней жизни Ф. Д. Гахов работал в Белорусском государственном университете.
Он заведовал кафедрой математического анализа, затем кафедрой теории функций и функционального анализа, а позднее работал профессором кафедры теории функций.
В 1962—1963 гг. он был деканом математического факультета.
В 1966 году Ф. Д. Гахов был избран действительным членом Академии наук Белорусской ССР.Ф. Д. Гахов похоронен в Минске, на Северном кладбище.