Сын ресторатора.Выпускник драматической школы при Королевском театре Дании в Копенгагене (1917).
С того же года до конца жизни работал в Королевском театре.Как актёр дебютировал в октябре 1916 года.
В общей сложности сыграл 191 трагическую и комическую роль классического и современного репертуара. Был ярким характерным актёром, обладал большим темпераментом, стремился к острому, точному внешнему рисунку. Х. Габриэльсен создавал выразительные образы в комедиях Л. Хольберга, Й. Гейберга, Й. Хострупа, а также в пьесах современных датских драматургов С. Клаусена, Соя, К. Мунка.Лучший образ, созданный Х. Габриэльсеном,- Хенрик в комедиях Л. Хольберга «Одиннадцатое июня» , «Хенрик и Пернилла» , «Герт Вестхалер» , «Честная гордость» и других.Особое мастерство проявлял в исполнении небольших ролей: Телегин («Дядя Ваня» ), Пианист и Иван Петрович («Живой труп» ) и других.
В числе наиболее значительных постановок Х. Габриэльсена: «Хенрик и Пернилла» (1933), «Оловянщик-политик» (1934), «Жан де Франс» (19,38) Хольберга, «Анна Софи Хедвиг» Абелля (1939), «Паразиты» Соя (1945).Дебютировал в качестве режиссёра в 1927 году. Для Х. Габриэльсена — режиссёра было характерно стремление к точному воплощению замысла драматурга, строгий вкус, тщательная работа с актёрами.Продолжал и развивал реалистические традиции национального сценического искусства, боролся за национальный классический и современный репертуар. Преподавал мастерство актёра в школе при Королевском театре Дании, выступал как критик.
В 1947 году снял кинофильм «Mani» . Снимался в кино с 1939 года.