ОбразованиеОн учился в гимназии имени Яна Снядецкого в городе Кельце, а после Второй мировой войны он продолжил учёбу в Кракове.
Он учился на юридическом факультете Ягеллонского университета, где в 1945 году получил степень магистра римского и канонического права. Во время обучения являлся секретарём организации студенческой взаимопомощи «Bratniak» , президентом которой был Кароль Войтыла.
В ноябре 1945 года поступил в Высшую духовную семинарию в Кракове.
В 1948 году направлен на обучение в Университет Фрибура (Швейцария), который закончил в 1952 году со степенью доктора теологии.
С 1952 года обучался в Папской Церковной акадкемии в Риме.Священство20 августа 1950 года рукоположен в священники кардиналом Пьером Герлье, архиепископом Лиона. Из-за железного занавеса не смог вернуться в Польшу.
В течение следующих двух лет он продолжил своё обучение в университете Фрибурга и работал пастором в Швейцарии и Франции.
В 1950—1952 годах — сотрудник Государственного секретариата Святого Престола.
С 1952 года — Почётный прелат Его Святейшества.
С сентября 1952 года — заместитель секретаря Папской комиссии по кино, радио и телевидению.
В 1954—1965 годах — Секретарь Секретариата по делам печати подготовительного этапа Второго Ватиканского Собора.
В 1960—1962 годах — участвовал в работе Второго Ватиканского собора, а в 1962—1965 годах — эксперт Собора.
С 1964 года — заместитель секретаря, с 1970 года — секретарь, с 1973 года — председатель Папского Совета по массовым коммуникациям.
В 1966, 1967 и 1974 годах сопровождал архиепископ Агостино Казароли во время его поездки в Польшу (Варшава, Гнезно, Познань и Вармия).Епископское служениеГерб дворянского рода ДескуровС 17 июня 1974 года — титулярный епископ Тене в Тунисе.30 июня 1974 года рукоположен в епископы Папой Павлом VI в базилике Святого Петра.13 октября 1978 года парализован после инфаркта миокарда.
Он был давним другом нового папы римского Иоанна Павла II. Во время Конклава, избравшего Кароля Войтылу — папой римским, епископ Дескур после тяжелого инсульта находился на излечении в клинике Джемелли. Новый Папа посетил его в больнице вскоре после своего избрания. После перенесенного инсульта Дескур мог передвигаться только в инвалидной коляске.15 февраля 1980 года Папа Иоанн Павел II возвёл его в архиепископы.КардиналСаркофаг кардинала Дескура в Национальном святилище святого Иоанна Павла IIС 25 мая 1985 года — Кардинал-дьякон с титулярной диаконией Сан-Чезарео-ин-Палатио.
С 1987 года — президентом Папской Академии Непорочной Девы Марии.29 января 1996 года возведён в кардиналы-священники с титулом церкви pro hac vice Сан-Чезарео-ин-Палатио.Являлся членом нескольких конгрегаций и советов: член Конгрегации богослужения и дисциплины таинств,член Конгрегации по канонизации святых,член Папского совета по пасторскому попечению о работниках здравоохранения,член Папской комиссии по делам государства-града Ватикана.После того, как ему исполнилось 80 лет (февраль 2004 года) он потерял право на участие в конклаве.Жил во дворце в Ватикане.3 сентября 2011 года скончался в Ватикане.