Отец Дейна, Дэвид Смит, также был легкоатлетом, участвовал в Олимпийских играх 1980 и 1984 годов в спортивной ходьбе.
В Москве он был дисквалифицирован на дистанции 20 км и сошёл на 50 км. Спустя 4 года финишировал 10-м в заходе на 20 км. Поэтому первые шаги в спорте его сын сделал довольно рано.
В юношеские годы Бёрд-Смит специализировался в беге на 400 метров (личный рекорд 48,99 в 17 лет) и даже становился чемпионом Австралии среди юниоров в эстафете 4400 метров. Выступать в ходьбе начал, чтобы помочь своей школе на региональных соревнованиях (других желающих не нашлось). Под руководством своего отца он очень быстро прогрессировал, и уже в 2009 году занял 8-е место на юношеском чемпионате мира в ходьбе на 10 000 метров. Спустя год на чемпионате мира среди юниоров Дейн был ещё ближе к пьедесталу, заняв 5-е место.
В 2012 году дебютировал за взрослую сборную Австралии на Кубке мира по ходьбе, где финишировал 41-м на дистанции 20 км и стал бронзовым призёром в командном первенстве.
На чемпионате мира 2013 года выступил значительно лучше, заняв 11-е место. Спустя 2 года финишировал уже 8-м на мировом первенстве.Первую крупную победу одержал в 2015 году на Универсиаде, где выиграл заход на 20 км, опередив на 3 секунды канадца Бенджамина Торна.Занял 4-е место на командном чемпионате мира по ходьбе в 2016 году, уступив 2 секунды бронзовому призёру испанцу Альваро Мартину. Время Дейна, 1: 19.38, стало его новым личным рекордом и первым результатом в карьере быстрее 1 часа 20 минут.
На Олимпийских играх в Рио-де-Жанейро он снова улучшил своё достижение. Дистанцию 20 км Бёрд-Смит преодолел за 1: 19.37, что позволило ему завоевать бронзовую медаль Игр. Впереди оказались лишь два китайца, Ван Чжэнь и Цай Цзэлинь.Установил личный рекорд в ходьбе на 20 км (1: 19.28) на чемпионате мира 2017 года в Лондоне, но в этот раз занял только шестое место.
В апреле 2018 года выиграл Игры Содружества, которые проходили у него на родине в австралийском Голд-Косте.
В жаркую погоду он на 4 секунды опередил англичанина Тома Босуорта и установил новый рекорд соревнований — 1: 19.34.Закончил Квинслендский университет в Брисбене, где получил образование в области физического воспитания.