Юрий Бурлака родился в Москве, учился в Московском хореографическом училище, где его сокурсниками были Алексей Ратманский и Владимир Малахов. Выпускался по классу профессора Петра Пестова. После выпуска в 1986 году был принят в труппу московского государственного театра «Русский балет» под руководством Вячеслава Гордеева, где вскоре стал солистом.
В 1993—1996 годах учился на балетмейстерском факультете в ГИТИСе (курс Вячеслава Гордеева), затем перевёлся в Московскую государственную академию хореографии, которую закончил с отличием в 1999 году по специальности «педагог-хореограф» .
В том же году написал учебное пособие «Музыкальное оформление уроков классического танца» .
В 2000 году в соавторстве с Германом Прибыловым осуществил издание клавира сохранившихся музыкальных номеров балета «Пахита» и записи хореографического текста Мариуса Петипа.Интересуясь музыкой и хореографией русского балетного театра XIX века, принимал участие как балетмейстер в ряде постановок классических балетов и вечеров старинной хореографии в различных театрах России (Большой театр, Екатеринбургский театр оперы и балета, Челябинский театр оперы и балета и др.) и за рубежом. Также участвовал в международных конференциях по сохранению классического балетного наследия, является членом Международного общества Людвига Минкуса.
С 2003 года работает доцентом кафедры хореографии и балетоведения Академии хореографии по дисциплине «Классическое наследие и репертуар балетного театра» . Начиная с 2006 года работает балетмейстером-постановщиком в театре «Русский балет» , в апреле 2007 года стал его художественным руководителем.
В том же году написал учебно-методическое пособие «Классическое наследие и репертуар балетного театра XVIII—XX веков» .
В 2007—2009 годах осуществил несколько постановок в Большом театре в духе «исторических реконструкций» — «Корсар» (совместно с А. Ратманским, 2007), Гран-па из балета «Пахита» (2008) и «Эсмеральда» (совместно с В. Медведевым, 2009).
С 1 мая по 31 декабря 2008 года работал в Большом театре в качестве балетмейстера, с января 2009 года по март 2011 года осуществлял художественное руководство балетной труппой. Не являясь её представителем в качестве танцовщика, встретил на этом посту некоторое сопротивление со стороны части коллектива.
В целом, в период своего руководства существенного влияния на дальнейшее развитие труппы и репертуарную политику не имел — наибольшие его успехи в театре пришлись на предыдущий период.
С 2017 года – главный балетмейстер Самарского академического театра оперы и балета.