Внук известного политика, реформатора Луи-Жозефа Папино. Обучался в Политехнической школе Монреаля и Колледже Святого креста в г. Вустер (Массачусетс).
В 1890 г. был избран мэром г. Монтебелло в возрасте 22 лет.
В 1896 г. избран в Палату общин Канады как независимый либерал от округа Лабель.
В 1899 г. оттказался от депутатского кресла в знак протеста против участия канадских войск в англо-бурской войне, однако вскоре после этого был переизбран. Конфликтовал с премьер-министром Уилфридом Лорье, также этническим франкоканадцем, утверждая, что тот «продался» (un vendu) британским империалистам и их сторонникам в Канаде.Для «борьбы с империализмом» Бурасса создал в 1903 г. Националистическую лигу (Ligue Nationaliste), проповедуя канадский национализм в основном среди франкофонов. Лига выступала против политической зависимости как от Великобритании, так и от США, отстаивая автономную позицию Канады внутри Британской империи.
С 1907 г. Бурасса, лишившись места в парламенте, продолжал играть активную роль в политике Квебека.
Он продолжал критиковать премьер-министра Лорье, противостоял его попыткам создать Королевский канадский военно-морской флот в 1911 г., что, по мнению Бурасса, неизбежно бы вовлекло Канаду в империалистическую войну между Великобританией и Германией.
В принципе Бурасса поддерживал создание канадского флота, однако возражал против того, чтобы флот находился под британским командованием, как планировал Лорье. Критика со стороны Бурасса расшатала позиции Лорье в Квебеке, что стало одной из причин поражения либералов на выборах 1911 года. По иронии судьбы, проигрыш либералов оказался на руку консерваторам, занимавшим ещё более жёсткую пробританскую политику.
В 1910 г., будучи депутатом Провинциальной ассамблеи Квебека, основал газету Le Devoir для продвижения идей Националистической лиги и был её редактором до 1932 г.
В 1913 г. Бурасса обозвал правительство Онтарио «более прусским, чем Пруссия» во время Кризиса онтарийских школ (см. en: Regulation 17), когда онтарийские власти едва не запретили полностью употребление французского языка в школах провинции, объявив английский единственным языком образования. По этому поводу в 1915 г. Бурасса заявил, что истинные враги канадцев гнездятся внутри Канады: «Враги французского языка, французской цивилизации в Канаде — это не боши на берегах Шпрее; это англо-канадские англификаторы, оранжевые интриганы, или ирландские священники. Франкоканадцы и без того ослаблены и деградировали вследствие завоевания и трёх столетий колониального рабства. Не допустим же ошибки: если мы позволим сокрушить онтарийское меньшинство, скоро придёт черёд и других франкоязычных групп в английской Канаде» . [in Wade v 2 p 671]Бурасса возглавил оппозицию франкофонов участию Канады в 1-й мировой войне, в особенности планам премьер-министра Роберта Бордена ввести призыв в 1917 г. (см. Кризис призыва 1917 года). Бурасса был согласен, что война была необходимой для выживания Великобритании и Франции, однако полагал, что в Европу следует отправлять лишь канадских добровольцев. Его несогласие с призывом сделало его мишенью англофонов, которые забрасывали его овощами и яйцами во время выступлений.Через 3 месяца после того, как Бурасса объявил, что больше не собирается иметь дел с политикой, он был вновь избран в Палату представителей на выборах 1925 года как независимый депутат и сохранял депутатское место до поражения на выборах 1935 года.
В 1930-е годы Бурасса требовал не впускать в Канаду еврейских иммигрантов, как и многие другие канадские политики того времени.Максим Реймон, Андре Лорандо и Анри Бурасса (справа) в 1944 г.Бурасса также противостоял введению призыва в Канаде в 1944 г. (см. Кризис призыва 1944 года), хотя и менее активно, и был членом Народного блока.