Родился 30 января 1932 года.После окончания школы поступил в Московский энергетический институт. Во время учёбы на энергетическом факультете под руководством члена-корреспондента АН СССР А. В. Щегляева и профессора С. Г. Смельницкого начал заниматься научной работой. По окончании вуза был приглашен на кафедру «Паровых и газовых турбин» , где работает с 1955 года. Начав свою деятельность в качестве инженера, продолжал заниматься научной работой и в 1965 году защитил кандидатскую диссертацию. Затем начал заниматься преподавательской деятельностью: в 1967 году ему было присвоено учёное звание доцента, с 1979 года работает в должности профессора; учёное звание профессора присвоено Булкину в 1988 году. Читает несколько лекционных курсов по специальности «Газотурбинные, паротурбинные установки и двигатели» , руководит дипломным проектированием, научной работой студентов, аспирантами. Под научным руководством А. Е. Булкина защищены три кандидатские диссертации.
С 1972 по 1997 год А. Е. Булкин работал деканом энергомашиностроительного факультета (в 2002 году преобразован в Институт энергомашиностроения и механики, ЭнМИ). За годы нахождения на посту декана при его непосредственном участии было подготовлено около 1500 специалистов для энергомашиностроительной отрасли СССР, включая около 100 специалистов для стран дальнего зарубежья.
В этот период времени на факультете были открыты новые специальности — «Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки» и «Роботы и робототехнические системы» . Профессор руководил разработкой новых учебных планов и ряда других организационно-методических документов по направлению подготовки «Энергомашиностроение» .Написанный А. Е. Булкиным в соавторстве с Г. А. Филипповым и Б. М. Трояновским учебник «Паровые и газовые турбины атомных электростанций» стал одним из фундаментальных учебников для студентов-турбинистов в России и странах СНГ.
С 1992 года Анатолий Ефремович является научным руководителем научно-учебного центра МЭИ по геотермальной энергетике. При его участии был разработан проект и осуществлено строительство уникальной Мутновской геотермальной станции на Камчатке.
С 1984 по 1999 годы Булкин являлся председателем специализированного Совета по защите кандидатских диссертаций; в этот период было защищено около 200 кандидатских диссертаций, в том числе более 30 диссертаций гражданами иностранных государств.