Иван Букреев родился из 1 (13) сентября 1864 года в станице Кособродской третьего военного отдела Оренбургского казачьего войска в семье представителей войскового сословия. Иван окончил Уфимское землемерное училище, а после этого поступил в Оренбургское казачье юнкерское училище, из которого выпустился по первому разряду.Букреев начал службу в Русской императорской армии в первый день 1883 года.
Он получил чин хорунжего в начале февраля 1886 года (со старшинством с сентября 1885), а сотника — в ноябре 1889. Иван Букреев дослужился до звания казачьего подъесаула в июле 1901 года (со старшинством с 1900); есаул с конца марта 1905. Стал войсковым старшиной «иррегулярной кавалерии» — по состоянию на 1916 год.
В 1888 году Букреев служил в Оренбургском 5-м казачьем полку. Затем повторно служил в нём же с 1892 по 1894 год.
С 1902 года он находился на льготе без должности.
В феврале 1904 года Иван Алексеевич был командирован в Сибирское казачье войско: участвовал в Русско-японской войне с 5-м Сибирским казачьим полком.По окончанию военного конфликта на Дальнем Востоке, в 1908 году, Иван Букреев служил в Оренбургском 3-м казачьем полку.
В период Первой Мировой войны он был вызван из отставки и назначен командиром 25-й особой казачьей сотни. Отличился в боях на территории Австро-Венгрии: за храбрость в бою 28 января (10 февраля) 1915 года был награжден золотым Георгиевским оружием.8 (21) июня 1916 года подполковник Иван Алексеевич Букреев скончался в результате нечаянного выстрела из револьвера. 10 (23) июня 1916 года обряд отпевания в деревне Княгинин (сейчас Мядельский район, Минская область, Беларусь) совершил священник 426 полевого подвижного госпиталя Петр Тычинин. Гроб был отправлен для предания земле на ст. Челябинск в ст. Никольскую.