Эдда Будинг родилась в 1936 году в Румынии в семье адвоката — этнического немца Франца Будинга. Доктор Будинг и сам был сильным теннисистом-любителем, привив детям интерес к этому спорту. Позже её семья перебралась в Германию, а оттуда в 1948 году в Аргентину, где Франц начал преподавать теннис, а Эдда и её младшая сестра Ильза получили гражданство в первой половине 50-х годов.
В 12 лет Эдда начала играть в теннис, а в 12 уже выиграла свой первый турнир в Буэнос-Айресе; Ильза пошла по стопам сестры, в 14 лет став чемпионкой Аргентины среди девушек. Покровительство талантливым девочкам оказывал сам президент Аргентины Хуан Перон.
В 1954 году сёстры Будинг появились на Международном чемпионате Германии в Гамбурге, где 17-летняя Эдда, уже в ранге чемпионки Аргентины среди взрослых, едва не обыграла трёхкратную чемпионку Германии Инге Поман.
В этом же году она успешно выступила на международных турнирах в Лондоне, Париже, Манчестере и Дюссельдорфе в рамках оплаченной Пероном поездки в Европу.
В дальнейшем семья Будинг перебралась назад в ФРГ, и Эдда, Ильза и их младший брат Инго на протяжении многих лет представляли эту страну. Под западногерманским флагом Эдда в 1957 году дошла до финала смешанных пар на чемпионате Франции, а в 1961 году — до финала в этом же разряде на Уимблдоне и финала в женском парном разряде на чемпионате США.
В этом же году она показала свой лучший результат на турнирах Большого шлема в одиночном разряде, пробившись на чемпионате Франции в полуфинал после победы над первой ракеткой турнира — американкой Дарлин Хард.
В 1965 году Будинг побывала в полуфинале обоих европейских турниров Большого шлема в женских парах, а на следующий год дошла со сборной ФРГ до финала Кубка Федерации, выиграв в предварительных раундах четыре матча из пяти с соперницами из Аргентины, Италии и Австралии, но в финале уступив американкам. Ещё одного успеха Эдда Будинг добилась на Олимпиаде в Мехико, где в паре с более молодой Хельгой Ниссен выиграла показательный турнир женских пар.
Она трижды выигрывала чемпионат Германии в одиночном разряде на открытых кортах (в 1956, 1962 и 1963 годах) и дважды — в помещениях (в 1961 и 1962 годах).