Родился 5 июня 1906 года в городе Горица в Австро-Венгрии (ныне город Гориция, Италия). Сын известного врача Антона Брецеля.
В семье также был брат Мариян Брецель, будущий глава СР Словении и Народный герой Югославии. Богдан учился в университетах Вены и Инсбрука, в 1929 году получил степень доктора медицинских наук в Инсбрукском университете.
С 1935 года стал заниматься хирургией в Любляне, с 1937 года стал практиковать и ортопедические операции (стажировался в Берлине, Болонье, Вене, Праге и Падуе). Возглавил отделение ортопедической хирургии в больнице Любляны в том же году.
В 1941 году Богдан Брецель вступил в Освободительный фронт Словении — политическое крыло Народно-освободительной армии Югославии, где возглавил медицинскую службу. Дважды он арестовывался итальянскими оккупационными властями в 1943 году, но оба раза убегал от них (его семья ещё в 1919 году была депортирована из Горицы итальянскими националистами и вынуждена была осесть в Любляне). Выбравшись на освобождённую территорию, Брецель стал работать главным хирургом югославской армии и лично трудился в Верховном штабе НОАЮ.
В 1945 году назначен региональным секретарём Народно-освободительного комитета Словенского Приморья и Триеста.31 августа 1945 Брецель назначен заместителем декана Люблянского университета, а через год основал кафедру клинической ортопедии на медицинском факультете и стал открывать ортопедические больницы в Словенских местечках Ровинь, Шемпетер-при-Горице и Алкаран, а также основывать институты по реабилитации: дом для инвалидов детства в Камнике, Институт по реабилитации инвалидов в Любляне и Центр медицинской реабилитации в Лашко. Там занимались лечением костно-суставного туберкулёза.
С 1947 года Брецель является одним из личных врачей Иосипа Броза Тито.
В 1948 году открывает школу физиотерапевтов в Ровине, а в 1958 году вводит в медицинские училища Югославии предмет «Основы физиотерапии и реабилитации» . Под руководством Брецеля развиваются методы лечения: артропластика суставов с использованием протезов, лечение костно-суставного туберкулёза при помощи консервативной трансплантации костей, лечение вывиха бедра с применением остеосинтетических материалов и т.д. Им же был основан первый костный банк в Словении и Югославии.
В 1976 году Брецель был избран в Совет Федерации СФРЮ и в том же году получил звание почётного профессора Люблянского университета. За свою жизнь он стал автором более 100 научных работ, опубликованных в журналах Югославии и мира, а также написал несколько книг и учебников по оказанию медицинской помощи. Свою деятельность он не прекращал даже после выхода на пенсию: 3 января 1980 он был главой консилиума врачей, занимавшихся лечением Иосипа Броза Тито (к несчастью, операция привела к серьёзным осложнениям, от которых югославский президент вскоре умер).Скончался Богдан Брецель 9 ноября 1986 года.