Клубная карьераЙожеф Божик родился в Кишпеште, ныне один из районов Будапешта. Прозвище «Цуцу» он получил от своей бабушки.
Он рос, играя в футбол на местном стадионе вместе со своим лучшим другом и соседом Ференцем Пушкашем.
В 11 лет он привлек внимание «Кишпешта» и клуб взял его в молодёжную команду.
В 1943 году он дебютировал в составе первой команды в матче против «Вашаша» .Карьера в сборнойЗа Венгрию он дебютировал в возрасте 22 лет в матче против Болгарии 17 августа 1947 года и сыграл за неё 101 матч и забил 11 мячей. Его последним голом был гол, забитый 18 апреля 1962 года в ворота Уругвая. Божик вместе со сборной одержал победу в футбольном турнире Олимпиада 1952 в Хельсинки и занял второе место на Чемпионате мира 1954 года.
Он также принимал участие в знаменитом матче на «Уэмбли» в 1953 году, в котором «золотая команда» Венгрии разгромила Англию со счётом 6: 3, и в ответном матче в Будапеште, в котором англичане потерпели самое тяжёлое поражение в своей истории со счётом 7: 1.Стиль игрыВ расцвете сил Божик считался одним из лучших атакующих полузащитников в мире.
Он обладал отличной техникой, чутьем, игровым интеллектом, точностью передач и креативностью, хотя страдал от нехватки скорости.
Он часто играл в качестве оттянутого вглубь диспетчера, где его игровые способности были также особо полезны.Тренерская карьераНа протяжении своей карьеры Божик выиграл множество наград и даже был избран в действующий парламент. После выхода на пенсию он стал членом совета своего старого клуба «Гонведа» .
Он также руководил командой на протяжении 47 матчей в период с января 1966 года по сентябрь 1967 года, после чего вернулся к своей позиции в совете.
В 1974 году он был назначен главным тренером сборной Венгрии, но по состоянию здоровья был вынужден уйти с поста вскоре после начала работы.Йожеф Божик скончался в Будапеште в возрасте 52 лет от сердечной недостаточности.
Он стал почётным гражданином Кишпешта посмертно.