Юрий Борев родился в Харькове, сын Бориса Борева (1900 г. р.), коммуниста с 1918 года. Оба родителя участвовали в гражданской войне. Борис Борев в начале 1930-х годов заведовал кафедрой философии Харьковского университета, был профессором ВУАМЛИНа («Всеукраинская ассоциация марксистско-ленинских научных институтов» ) и главным редактором «Партиздата» Украины.
В 1945 году Юрий Борев окончил Литературный институт в Москве. Как пишет Борев в «Автобиографии» , его учителями были эстетик В. Ф. Асмус, логик П. С. Попов, философ М. А. Дынник, лингвист А. А. Реформатский, фольклорист С. К. Шамбинаго.
В 1947 году Борев стал участником Всесоюзного совещания молодых писателей. Учился в Московском авиационном институте.
С 1956 года работает в Институте мировой литературы АН СССР (ИМЛИ РАН), где около 10 лет заведовал отделом теории литературы. Получил профессиональное признание своими трудами по эстетике, концепции личности в искусстве. Исследователь и собиратель фольклора. Ввёл в обиход термин «интеллигентский фольклор» . Юрий Борев так обосновал свой термин: В тоталитарных обществах, где интеллигенция не могла доверить бумаге свой жизненный опыт, возник целый пласт культуры — интеллигентский фольклор, дающий альтернативную по отношению к созданной документами картину истории.