В 1907 окончил историко-филологический факультет Московского университета с дипломом 1-й степени.
До 1909 продолжил обучение в Берлинском университете. Ученик Карла Штумпфа, одного из основателей европейского направления функциональной психологии.После возвращения на родину, в 1920—1921 годах — профессор кафедры философии и психологии Томского университета.
С 1921 по 1923 — профессор, проректор по учебной части Кубанского института народного образования (ныне Кубанский государственный университет).
С 1925 по 1936 — профессор Ленинградского государственного педагогического института им. А. И. Герцена, заведующий кафедрой теории дошкольного воспитания, заведующий Школьно психологической лабораторией этого института.
В 1929—1931 — заведующий кафедрой экспериментальной психологии.Предлагал учитывать мотивы труда при составлении профориентационной характеристики профессий. Наряду с тестами в оценке способностей и склонностей школьников считал необходимым использовать данные систематического наблюдения за успехами в учебной деятельности школьников педагогами-предметниками.
В середине 1930-х гг. работы А. П. Болтунова оказались под огнём критики в связи с осуждением педологии и психотехники в целом.Умер от истощения в феврале 1942 г. Захоронен в братской могиле на Пискаревском мемориальном кладбище Санкт-Петербурга. Главная область научных интересов — исследование психологических проблем профессиональной ориентации и консультации молодежи, проблем психологии способностей и склонностей. Большое внимание уделял освещению психологических проблем трудового воспитания школьников. Разработал методы психологической профессиографии в целях профориентации и «измерительную шкалу ума» — психодиагностическую методику для определения способностей.Один из организаторов системы профориентационной работы в Ленинграде в 1920—1930-е годы, включавшей деятельность психологов (педологов) в школах, на бирже труда, в профессиональных учебных заведениях.