Родился 16 мая 1904 года в городе Витебск, ныне Белоруссия. Сын полковника русской императорской армии Гавриила Фомича Богдашевского, происходившего из дворян Волынской губернии. Его мать Евгения Петровна, урожденная Горленко, происходила из украинского казацко-старшинского и дворянского рода. Русский.
В Первую мировую войну осенью 1914 года Богдашевский как сын артиллериста-офицера был определен в Сибирский кадетский корпус в город Омск.
В связи с уходом отца на фронт и переездом семьи в Москву он был переведен в Суворовский Варшавский кадетский корпус (Сокольники, Матросская Тишина, казармы лейб-гвардии саперного батальона), где проучился до начала 1918 года.
В сентябре 1921 года вступил в 3-й Витебский полк ЧОН и прослужил в нем до мая 1922 года, после чего уволен как несовершеннолетний. Затем работал делопроизводителем в Витебском уездном продовольственном комитете.