Родился 23 ноября 1881 года в станице Каменской Области Войска Донского.Детство провел в хуторе Петровское, недалеко от станции Миллерово.
В 1893 году поступил в Новочеркасскую гимназию, которую окончил с некоторым опозданием в возрасте 20 лет. После этого успешно прошел курс историко-филологического факультета в Петербургском университете, состоял во все годы студенчества председателем Донского Землячества.
В 1911 году, по окончании университета, вернулся на Дон и некоторое время состоял преподавателем истории, географии и латыни в Новочеркасской гимназии. Тогда же женился на Елизавете Дмитриевне Закаляевой, казачке станицы Мелеховской.
В 30 лет получил назначение на должность директора мужской классической гимназии в станице Каменской, став её первым директором.После февральской революции 1917 года казаки призвали Богаевского для служения народу.
В марте 1917 года население станицы послало его делегатом на Общеказачий съезд в Петрограде, где он занял место председателя собраний.
В апреле того же года, будучи представителем станицы Каменской на Первом Съезде Донских Казаков в Новочеркасске, он был избран председателем его и поставлен во главе Комитета по выработке Положения о выборах и созыве Войскового Круга. 26 мая, как председатель возрожденного Казачьего Парламента, Богаевский провозгласил: «Объявляю заседание Донского Войскового Круга, после двухсотлетнего перерыва, открытым» .
На заключительном заседании Круг избрал его на пост Заместителя Войскового атамана. Избран депутатом Учредительного собрания от Донского избирательного округа по списку № 4 (от казаков).
В 1917—1918 годах возглавлял Донское войсковое правительство.29 января 1918 года, одновременно с атаманом А. М. Калединым, Богаевский сложил свои полномочия и покинул Новочеркасск, удалившись с женой в Сальский округ, куда вскоре пошли и Донские партизаны. 12 февраля столицу Дона занял отряд красных Казаков войскового старшины Голубова, который в начале марта предпринял поход в степи на Донских партизан. Прибыв в станицу Великокняжескую, Голубов ночью 6 марта (19 марта по новому стилю) отыскал Богаевского в доме калмыцкого гелюна (священника) и взял его в плен без сопротивления.
С 6 по 18 марта держал его в арестных домах станиц Платовской (ныне станица Будённовская) и Великокняжеской (ныне город Пролетарск). Затем Богаевский содержался на гауптвахте в Новочеркасске под охраной казаков.Красная Армия, заняв Новочеркасск, захватила на гауптвахте Богаевского и перевела в Ростов-на-Дону.КонецС началом восстания низовых станиц, комиссар Яков Антонов (сын царского полковника Якова Петровича Антонова) вместе с красным командиром Рожинским взяли Заместителя Донского Атамана Митрофана Петровича Богаевского из Ростовской тюрьмы, вывезли его в Балабановскую рощу около г. Нахичевань-на-Дону и там застрелили двумя выстрелами в голову. Вот как это описывалось в еженедельнике «Донская волна» 1918 года: .mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote{float: none;padding: 0.25em 1em;border: thin solid #eaecf0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-source{margin: 1em 0 0 5%;font-size: 105%}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq{margin: 0 -1em -0.25em}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavFrame{padding: 0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavHead,.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavContent{padding-left: 1.052632em;padding-right: 1.052632em}«…1-го (14) апреля к опушке Балабановской рощи в Ростове подъехал автомобиль. Из него вышли начальник ростовской красной гвардии юноша Антонов, а за ним быстрым шагом — Митрофан Богаевский… Спустились в ров, вышли на полянку. Антонов быстро повернулся и в упор выстрелил в Богаевского. Тот упал. Антонов пошел к автомобилю, но снова вернулся. Ему сказал его спутник Рожанский, что Богаевский жив. Действительно, пуля застряла во рту Богаевского и он прикрыл руками рот. Антонов вернулся и в упор еще раз выстрелил в глаз лежащему. Умер Богаевский.» .mw-parser-output .ts-Конец_цитаты-source{margin: 0.357143em 2em 0 0;text-align: right}Позже сам Яков Антонов был расстрелян своими же вместе с Думенко Б. М. в 1920 году.Ночью родственниками труп Митрофана Петровича был вывезен в Новочеркасск и тайно захоронен на фамильном кладбище.Примечания О. В. Ушаков-Богаевский. «Град на Полночных горах» . Новочеркасск, 2011 год.