Сын коллежского асессора, директора Московского ассигнационного банка, возведенного в дворянское достоинство, Андрея Андреевича Бодиско (1753—1819) от брака с баронессой Юлией-Анной-Марией (Анной Ивановной) Горгоной де Сен-Поль. Младшие братья — Борис (1800—1828) и Михаил (1803—1867) — участники восстания на Сенатской площади 14 декабря 1825 года.Дипломатическая служба в ЕвропеВ 1799 году поступил на дипломатическую службу, состоя при коллегии иностранных дел.
В 1812 году был послан курьером в Эребру к инженер-генералу фон Сухтелену, при котором и был оставлен.
В 1814 году привёз императору Александру I в Лангр с известие о заключении мира между Швецией и Данией и был пожаловал орденом Св. Анны 2-й степени. Затем снова находился при Сухтелене.
В 1817 году он временно исполнял должность русского генерального консула в Стокгольме, за что был награждён бриллиантовыми знаками ордена Св. Анны 2-й степени; 13 августа 1818 года пожалован в камер-юнкеры; 3 января 1820 года назначен советником посольства в Стокгольме; 5 февраля 1824 года пожалован в камергеры; 5 апреля 1830 года получил орден Св. Владимира 3-й степени, 10 апреля 1832 года — чин действительного статского советника; 5 декабря 1834 года получил орден Св. Станислава 2-й степени со звездой. После смерти графа Сухтелена, Бодиско 17 января 1836 года был утверждён временно поверенным в делах при миссии в Стокгольме, а 16 марта 1837 года назначен чрезвычайным посланником и полномочным министром в США.Посол в СШАВ условиях переориентации российского внешнеполитического курса на сближение с Великобританией за счёт отказа от дальнейшего укрепления российско-американских взаимоотношений А.А.Бодиско активно отстаивал необходимость сохранения связей с США как «традиционным союзником» России и «действительным и единственным политическим другом, на которого можно положиться» .
Он настойчиво предлагал правительству Николая I объединить с США усилия по разделу между Россией и США Верхней Калифорнии и залива Сан-Франциско.
Но его предложения не встретили поддержки у царя и Нессельроде, совпав по времени с настойчивыми предложениями Российско-американской компании об отказе от поселения Росс.За время пребывания в должности посла получил 14 апреля 1840 года чин тайного советника; был отмечен: 21 апреля 1847 года — орден Св. Анны 1-й степени и 24 февраля 1850 года — орден Св. Владимира 2-й степени большого креста.Johann Conrad Dorner, Портрет Генриетты Бодиско