Родился 5 (17 ноября) 1870 года в Хотимске (ныне Могилёвская область, Беларусь). Там же в 1880 году окончил народное училищее, в 1888 году — Смоленскую гимназию. Окончил Московский университет в 1892 году, с 1894 года работал в обсерватории университета, с 1918 года профессор, с 1929 года член-корреспондент АН СССР.
В 1920—1931 годах директор обсерватории Московского университета, в 1931—1937 годах заведовал кафедрой астрономии, в 1937—1953 годах — кафедрой астрометрии МГУ.Работы Блажко посвящены исследованию переменных звёзд и практической астрономии.
С 1895 систематически фотографировал звездное небо с целью обнаружения переменных звезд, чем положил начало богатой коллекции «стеклянной библиотеки» Московской обсерватории. Впервые проанализировал влияние потемнения к краю диска звезды на форму кривой блеска и на определение элементов орбиты, указал метод учета этого эффекта. Обнаружил изменения периодов и формы кривой блеска ряда короткопериодических переменных звезд типа RR Лиры; эти явления названы «эффектом Блажко» .
В 1904 году аппаратурой собственной конструкции одним из первых в мире сфотографировал спектры двух метеоров и дал правильное их толкование. Предложил новый метод обнаружения малых планет (1919). Участвуя в наблюдении полного солнечного затмения (1914), прибором собственной конструкции сфотографировал солнечную корону в поляризованном свете. Автор ряда оригинальных конструкций — таких, как бесщелевой звездный спектрограф, прибор для обнаружения переменных звезд на астронегативах (блинк-микроскоп), приспособления в меридианных инструментах для ослабления блеска при наблюдениях моментов прохождений звезд, специальная лупа для отсчитывания разделенных кругов и другие.Написал неоднократно переиздававшиеся учебники: «Курс практической астрономии» «Курс общей астрономии» «Курс сферической астрономии» Скончался 11 февраля 1956 года. Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище, недалеко от его учителей и коллег, выдающихся русских астрономов В. К. Цераского и П. К. Штернберга.