Алексей Петрович Быстров родился в 1899 году в Рязанской губернии в семье сельского священника и учительницы. Его интерес к естествознанию проявился ещё в детстве и повлиял на выбор профессии не только у него самого, но и у его младших братьев и сестёр, многие из которых тоже связали свою жизнь с наукой.
Он начал своё образование в сельской школе, затем окончил духовное училище. Алексей поступил в Рязанскую духовную семинарию, но уже весной 1918 года она была разогнана новым правительством. После получения среднего образования его мобилизовали в Красную армию. Несмотря на «неправильное» социальное происхождение Алексею всё же удалось поступить в Военно-медицинскую академию (ВМА) в Петрограде. После окончания он остался в ней работать.Его научные интересы из области анатомии человека постепенно переместись в палеонтологию позвоночных. Наличие у него целого ряда статей позволило ему в 1935 году получить степень кандидата медицинских наук без защиты диссертации.
В 1937 году после переезда в Москву он начал работать в отделе низших позвоночных Палеонтологического института. По итогам этой работы в соавторстве с И. А. Ефремовым была опубликована монография по остеологии и анатомии эотриасового лабиринтодонта, за которую авторы впоследствии были удостоены почётных дипломов Линнеевского общества (Англия).
В августе 1939 года Алексей Петрович возвратился в Ленинград, а уже в 1940 году защитил диссертацию «Структура зубов кроссоптеригий и лабиринтодонтов» на соискание учёной степени доктора биологических наук.
В это время Алексей Петрович работал в Военно-морской медицинской академии, где он был избран профессором кафедры нормальной анатомии.Во время войны, в ночь на 1 декабря 1941 года Алексей Петрович вместе с другими сотрудниками Академии пешком по льду Ладожского озера вышел из блокадного Ленинграда. Их эвакуировали в Киров, где они работали в военном госпитале. Даже в эти тяжёлые годы Алексей Петрович не прекратил научную деятельность: за годы войны исследовано 4,5 тысяч человеческих черепов.
В феврале 1943 года ему присвоили звание подполковника медицинской службы.После окончания войны Алексей Петрович вернулся в Ленинград и перевёлся в Университет, где он читал студентам курс палеонтологии.
В 1946 году его избрали редактором Государственного всероссийского палеонтологического общества и членом Общества палеонтологии позвоночных.
В 1947 году Алексей Петрович возглавил палеонтологическую лабораторию в ЛГУ. Послевоенный период жизни характеризуется целой серией научных работ, особое место среди них занимает монография «Прошлое, настоящее, будущее человека» , на написание которой потребовалось более десяти лет.
Она была издана в 1957 году в самом конце жизни автора.
В 1959 году она была признана лучшей научной работой 1957—58 года в Ленинградском университете и удостоена премии Учёного Совета, выдвинута на соискание Сталинской премии.Алексей Петрович скончался 29 августа 1959 года, похоронен на Серафимовском кладбище в Ленинграде.Память о нём увековечена в научных названиях целого ряда ископаемых животных, а также в названиях двух географических объектов на карте мира (мыс Быстрова и скала Быстрова). Однако лучшим признанием его заслуг перед научным сообществом служит не прекращающееся до наших дней цитирование его научных трудов.