Родился в семье кинорежиссёра Наума Бирмана и Беллы Григорьевны — главного администратора дворца культуры Выборга.
В 1987 году Борис окончил Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии, где занимался на курсе Аркадия Кацмана.
В 1988—1990 годах Бирман работал актёром в Государственном театре-студии «Народный дом» .
В кино Борис дебютировал ещё в детстве (в 1979 году), сыграв в киноповести «Бабушкин внук» .Известность приобрел благодаря работам в сериалах «Чёрный ворон» (в его создании он участвовал и как соавтор сценария), «Бандитский Петербург» , «Подружка Осень» , «Европейский конвой» , всего более 15 киносериалов.
В 2003 году Владимир Бортко пригласил Бирмана на роль Птицына в своём телесериале «Идиот» .Актёр живёт в Санкт-Петербурге.