В 1949 году после окончания семилетки поступил в художественно-декоративное училище.
В 1951 году, окончив училище, был направлен в Москву фасадчиком-лепщиком для оформления фасада дома на Фрунзенской набережной.
В 1953 году был призван в армию. После демобилизации вернулся в Москву и стал работать художником-графиком в таких периодических изданиях, как «Литературная жизнь» и «Красная звезда» .
В 1959 году поступил учиться в Московский государственный художественный институт имени В. И. Сурикова на факультет скульптуры. Параллельно посещал занятия в мастерской Л. Е. Кербеля.
В 1967 году был принят в Союз художников СССР.
В 1972 году возглавил Студию художников имени В. В. Верещагина МВД СССР, где проработал до 2013 года.
С 1988 года, со дня основания Российской академии живописи, ваяния и зодчества является профессором, заведующим кафедрой скульптуры.Принимал участие в воссоздании скульптурного убранства храма Христа Спасителя в Москве. Неоднократно участвовал в российских и международных выставках, где его работы удостаивались различных медалей и дипломов.А. А. Бичуков — действительный член Российской академии художеств и Академии менеджмента в образовании и культуре, член Государственного художественного совета, член президиума Российской академии художеств, начальник студии художников им. В. В. Верещагина МВД России, полковник внутренней службы.
В качестве консультанта ведёт переписку с начинающими художниками.