Демиан Бишир родился 1 августа 1963 года в Торреоне, штат Коауила, в семье актёров Алехандро Бишираruen и его жены Марикруc Нахеры. Вместе с братьями Бруно и Одисео, которые также стали актёрами, Демиан учился в начальной школе имени Франсиско Медины Асценсио в Мехико. Актёрский дебют Бишира состоялся в драматическом телесериале «Рина» , где 14-летний актёр сыграл роль Хуанито. Вплоть до 1985 года Бишир играл в одних только телесериалах.
На вопрос, почему он стал актёром, Бишир отвечал: На меня очень повлиял Джек Николсон. Мне было 16, и я на автобусе добирался до кинотеатра, чтобы посмотреть «Пролетая над гнездом кукушки» . А после фильма весь обратный путь представлял себя главным героем. Помню, сижу в автобусе и думаю: вот сейчас он развернется и отвезет меня в сумасшедший дом. Джек Николсон просто потряс меня своим талантом— Демиан Бишир, В 1985 году Демиан Бишир впервые снялся в большом кино, исполнив роль Чая в полнометражной драме Игнасио Ретеса «Путешествие в рай» . После этого последовали небольшие роли в фильмах "Отель «Колониал» и «Кающаяся» . Перевоплощение в Хорхе в детективном триллере «Красный рассветruen» принесло актёру настоящую популярность на родине: фильм стал обладателем 11 статуэток премии «Ариэль» .
В 1995 году сам Бишир выиграл данную премию за исполнение роли Морисио в триллере «Насмерть» .Одна из самых успешных ролей Бишира — Томас в комедии «Секс, стыд и слёзы» (1999), за роль в которой актёр снова номинировался на премию «Ариэль» .
В 2003 году Бишир стал лауреатом премии MTV Movie Awards, раздаваемой специально для мексиканских актёров, в категории, названной в честь его самого — «Лучший Бичир в фильме» . Статуэтку Демиану вручили за роль боксёра Мэнни в комедии «Нет вестей от Бога» .2011 год стал знаковым для карьеры Бишира: актёр перевоплотился в любящего и заботливого отца Карлоса Галиндо в драме Криса Вайца «Лучшая жизнь» . 24 января 2012 года Американская академия кинематографических искусств и наук объявила номинантов на премию «Оскар» , в числе которых был и Демиан Бишир, поборовшийся за статуэтку с Гэри Олдменом, Джорджем Клуни, Брэдом Питтом и Жаном Дюжарденом. По словам самого Бишира, он был ошеломлен своей номинацией и считает, что её бы не было, если бы Крис Вайц не был режиссёром фильма. Примечательно, что Бишир является первым мексиканским актёром, номинированным на «Оскар» , с 1964 года — года, когда был выдвинут Энтони Куинн.