Родился в Кагарлыке Киевской области.
В 1955 году окончил Республиканскую художественную среднюю школу имени Тараса Шевченко, а в 1964 году — факультет монументальной живописи Львовского института прикладного и декоративного искусства.За свои первые иллюстрации к произведениям Ивана Франко, созданные в 1963—1969 годах, Евгений Безниско был внесён в список неблагонадёжных, однако за эти же рисунки в 2006 году был удостоен Шевченковской премии.Евгений Безниско около 40 лет работал над офортами и линогравюрами по мотивам произведений Ивана Франко (поэмы «Моисей» , «Смерть Каина» , «Барские шутки» , «Ботокуды» , «Похороны» , «Христос и крест» , «Рубач» . «Каменяры» и т. п.), Леси Украинки (драмы «Лесная песня» , «Вавилонский плен» , «В катакомбах» , «Одержимая» , «На поле крови» и т. п.), Василия Стефаника.
В 2005 году, после поездки в Египет, Безниско прошёл путями «Моисея» Франка, по-новому переосмыслил это произведение, и создал серию цветных работ в технике пастельного рисунка.
В 1997 и 2004 годах Евгений Безниско работал в Чернобыльской зоне, где написал несколько десятков работ, в том числе 45 пастелей. 56 написанных в Чернобыле работ он подарил Львовскому этнографическому музею. Безниско создал бронзовую копию памятника Даниилу Галицкому во Владимире-Волынском, а также написал портрет кардинала Иосифа Слепого, которые были подарены Папе Римскому Иоанну Павлу II.Автор 19 персональных выставок, первая из которых состоялась в 1969 году. Автор нескольких тысяч картин на разные темы. Его работы хранятся в музеях США, Аргентины, Канады, Франции. Неоднократно принимал участие в выставках на Украине и за рубежом.