Пётр Бессонов (Безсонов) родился в Москве, в семье священника — законоучителя Благородного пансиона при Московском университете. Окончил Московскую духовную семинарию (1846) и поступил на историко-филологический факультет Московского университета.
В университете он сблизился с Бартеневым, Собчаковым, Казановичем и Прейсом на почве увлечения русской историей, литературоведением и этнографией, начал собирать народные песни. Окончил он Московский университет в 1851 году.Служил в Московском архиве Министерства иностранных дел (1855—1857), Московской синодальной типографии (с 1858).Перед смертью (1863) московский библиофил Т. Ф. Большаков подарил часть своего собрания Бессонову (в основном духовные стихи и нотные рукописи).Стараниями попечителя Виленского учебного округа И. П. Корнилова был привлечён в Вильну, где был назначен весной 1865 года председателем Виленской археографической комиссии, директором Виленского реального училища и директором 1-й Виленской гимназии. Однако при нём работа Археографической комиссии замерла. Разочарованный И. П. Корнилов добился его удаления в 1866 году.После удаления из Вильны Бессонов служил директором библиотеки Московского университета (1867—1878).
В 1878 году он защитил в Казанском университете диссертацию на степень доктора славянской филологии и в 1879 году возглавил кафедру славянских наречий в Харьковском университете.Член Общества любителей российской словесности при Московском университете, его секретарь (1869—1878), член-корреспондент Сербского учёного общества, член Русского географического общества.
С 1888 года — действительный статский советник.Имел четырёх детей: Николай (род. 1858), Пётр (род. 1860), Дарья (род. 1862) и Наталия (род. 1866).