Наум Берковский родился в Вильно, в семье учителя Якова Акимовича Берковского (1878—) и Ревекки Нохимовны Лифшиц (1880—); вырос в Харькове, в 1920 году поступил в Педагогический институт Екатеринослава, который покинул в 1922 году.
В том же году он поступил на романо-германское отделение Петроградского университета и окончил его в 1926-м.
В 1927—1930 годах Берковский проходил курс обучения в аспирантуре под руководством В. М. Жирмунского; в этот же период начал публиковать статьи о советской и немецкой литературе.
В конце 20-х годов Берковский был связан с РАППом, печатался в журнале «На литературном посту» , был, по словам Г. Белой, не только критиком, но и теоретиком революционного искусства. Многое из написанного в эти годы Берковский в дальнейшем переосмыслил; среди ранних его работ А. Аникст выделял статью о «Смерти Вазир-Мухтара» Ю. Тынянова и этюд «О прозе Мандельштама» .Выпустив в 1930 году сборник статей «Текущая литература» , Берковский постепенно отошёл от темы современной советской литературы, хотя в 1936 году выступил с осуждением творчества писателя Леонида Добычина, а в годы Великой Отечественной войны опубликовал несколько небольших работ о современной советской литературе.
С начала 30-х Берковский отдавал предпочтение отечественной и зарубежной классике, и уже через несколько лет опубликовал первый цикл исследований о немецком романтизме; в 1936 году вышла в свет большая работа «Эволюция и формы раннего реализма на Западе» .
В дальнейшем Берковский писал о У. Шекспире (этюды о «Короле Лире» (1941), «Отелло» (1944), «Ромео и Джульетте» (1964)) и М. Сервантесе («Дон Кихот и его друг Санчо Панса» (1941), «Новеллы Сервантеса» (1955)).
В 60-х годах одним из основных объектов его исследований было творчество А. П. Чехова («Чехов — повествователь и драматург» , «Чехов: от рассказов и повестей к драматургии» ).Обращение к творчеству Чехова было связано с другим давним увлечением Берковского — театром. О театре он особенно много писал в 50—60-х годах: кроме монографических исследований «Таиров и Камерный театр» (1962), «Станиславский и эстетика театра» (1968) и посвящённой античному театру работы «Драматический театр и дух музыки» (1965), ему принадлежит ряд статей, включённых в 1969 году в сборник «Литература и театр» .Последней работой Берковского, изданной уже после его смерти, стала монография «Романтизм в Германии» — первое в российской научной литературе фундаментальное исследование немецкого романтизма.
С 30-х годов Берковский преподавал в ряде вузов Ленинграда, Москвы и других городов.
В 1964 году защитил докторскую диссертацию на тему «Вопросы литературного развития новых веков» . Среди учеников — Константин Азадовский.Умер Наум Берковский в Ленинграде 19 июня 1972 года и был похоронен на Комаровском кладбище.