Окончил Военно-морскую академию в 1928 году в Дубровнике.
В 1941 году в дни Апрельской войны командовал монитором «Драва» . Охранял прибрежный сектор Дуная до Безданы.
В течение двух дней вёл борьбу с патрульными катерами, силами на побережье и вражеской авиацией.Во время отступления югославской армии к Нови-Саду его монитор подвергся авиационному налёту: 12 апреля 1941 года самолёты люфтваффе совершили налёт на Челареву. Берич был ранен, но продолжил командовать монитором.
В конце концов его корабль затонул после попадания авиабомбы, и Берич пошёл ко дну вместе со своим судном, не спустив военно-морского флага.
В наши дни верфь Речной флотилии Сербии в Нови-Саде носит имя Александара Берича.