Юрий Беляев родился 28 августа 1947 года в селе Полтавка Омской области в семье служащих. Впоследствии семья переехала в город Ступино Московской области.
В 16 лет Юрий начал заниматься в театральной студии «Ступинская театр-студия молодых» под руководством О. А. Ливановой. По окончании школы работал на заводе, служил в Советской армии в ракетных войсках, работал инструктором ДОСААФ, дворником, грузчиком, рабочим в постановочных мастерских МХАТа.
В 1975 году окончил Высшее театральное училище имени Б. В. Щукина (актёрский курс Л. В. Ставской), куда поступил с четвёртого раза.
В том же году стал актёром Московского театра драмы и комедии на Таганке, где прослужил до 2010 года. После тридцати пяти лет службы Юрий Беляев был уволен из театра из-за трений с супругой режиссёра Юрия Любимова Каталин Кунц. Решение об увольнении актёр оспорил в суде, где оно было признано незаконным, но возвращаться в родной театр он уже не захотел.Игру актёра Беляева отличает жёсткий рисунок роли.Личная жизньПервая жена — Галина.
На ней он женился в возрасте 24 лет.
В браке родились дочь Ольга (род. 1981) и сын Алексей (род. 1987). Ольга окончила МВШСЭН по специальности «Менеджмент в сфере культуры» , работает в рекламной компании, у неё есть сын Егор (род. 2014). Алексей окончил Институт журналистики (ИЖЛТ) по специальности «фотожурналист» , трудится в иностранной фирме, женат.От второго брака сын Александр (род. 1998), учится на историческом факультете МГУ..
В мае 2014 года Юрий Беляев женился в третий раз на актрисе Татьяне Абрамовой (род. 5 февраля 1975). Расписались в Санкт-Петербурге в перерывах между съёмками, когда совпали графики. Позже обвенчались в подмосковном храме. Живут в Москве с детьми Татьяны от предыдущего брака с оператором Сергеем Кулишенко — Иваном (род. 2004) и Александром (род. 2008).