Основной источник: Родился 13 марта 1962 года в станице Казацкой Оскольского района Белгородской области.
В 1979 году — окончил среднюю школу с золотой медалью, в 1985 году — с отличием окончил факультет подготовки врачей для Ракетных и Сухопутных войск Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова.
С 1985 по 1988 годы — служил в частях Ракетных войск Вооруженных Сил СССР.
С 1988 по 1991 годы — учёба в адъюнктуре кафедры торакальной хирургии академии, где защитил кандидатскую диссертацию, тема: «Изменение агрегационных свойств тромбоцитов при острых гнойно-деструктивных и септических поражениях легких и плевры и способы их коррекции» .
В 1991—1993 годах — был начальником отдела НИЛ-5 Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова, затем заместителем начальника клинического центра экстракорпоральной детоксикации.
С мая 1994 года Андрей Николаевич Бельских являлся начальником этого центра.
В 1997 году — защитил докторскую диссертацию, тема «Экстракорпоральная гемокоррекция в комплексном лечении острых инфекционных деструкций легких и плевры» .
В 2001 году — присвоено ученое звание профессора по специальности «Гематология и переливание крови» .
С января 2008 года — главный специалист Министерства обороны Российской Федерации по детоксикации и трансплантации органов.
С апреля 2012 года — исполняющий обязанности, с 3 декабря 2012 года по 9 февраля 2018 года — начальник Военно-медицинской академии имени С. М. Кирова.
В 2013 году — присвоено очередное воинской звание «генерал-майор медицинской службы» .
В 2016 году — избран членом-корреспондентом РАН.
С 9 февраля 2018 года заведующий кафедрой (начальник клиники) нефрологии и ээфферентной терапии. Основной источник: Специалист в области экстракорпоральной детоксикации, гемагрегатологии и эфферентной терапии.Соавтор научного открытия «Закономерность гемореологических изменений в организме при гипоксии» .Автор 156 научных работ, из них 10 монографий, 6 патентов на изобретение РФ и одного патента на открытие.Под его руководством защищены семь кандидатских и одна докторская диссертации.Возглавляет Санкт-Петербургское общество «Эфферентная терапия» , является членом редакционной коллегии одноименного журнала.