Родился 13 декабря 1910 года в Томске в семье Фёдора Александровича Белышева — учёного в области металлографии, преподавателя Томского технологического института. Борис Фёдорович был «неофициальным» правнуком графа Шувалова. Дед — Александр Фёдорович Белышев — служил чиновником особых поручений при уфимском губернаторе и был незаконнорождённым сыном графа Шувалова и крепостной девушки Ульяны, получившей от своего покровителя вольную и дом с усадьбой.
К 16-ти годам юный Борис Фёдорович опубликовал свою первую научную работу «О совах в неволе» .
В 1928 году он поступил в Томский технологический институт, а через два года перевёлся в Ленинградский государственный университет, но спустя ещё два года (в 1932-м) был отчислен из ВУЗа из-за конфликта с комсомольцами рабфаковского набора.
В 1932 году его арестовали за то, что он получил посылку с книгой из Германии от коллег-учёных, носивших титул «фон» .
В другой раз его сняли с поезда и арестовали, так как он, споря с попутчиками, вызвал их подозрения, в том числе из-за одежды как у английского колонизатора: на нём были надеты зелёный френч, пробковый шлем, галифе, а на ногах были жёлтые ботинки и краги.
В первые годы своей научной карьеры изучал птиц и был избран председателем Сибирского орнитологического общества. 23 апреля 1935 года Бориса Фёдоровича арестовали с формулировкой за «контрреволюционную деятельность» , затем последовал приговор: десять лет лишения свободы с отбыванием в Воркутлагере. При этом он оставался человеком, держался с достоинством, за опрятный внешний вид (белая рубашка с галстуком) получил от заключённых прозвище «лошадь в галстуке» .
В 1946 году его перевели на поселение в город Бийск на Алтайскую противотуляремийную станцию. Реабилитирован он был в 1953 году, с 1955 года работал в Бийском краеведческом музее и преподавал в Бийском пединституте вплоть до 1958 года.25 июня 1954 года Высшая аттестационная комиссия разрешила ему защитить кандидатскую диссертацию «Стрекозы Нижнего Приобья» в порядке исключения, так как у него не было законченного высшего образования. Экспедиции по многим регионам Северной Евразии и работа в Иркутске в Сибирском институте физиологии и биохимии растений позволили ему написать докторскую диссертацию «Одонатофауна Сибири» , которую он защитил в 1963 году.
С 1967 года работал в Биологическом институте Сибирского отделения Академии наук, где создал группу учеников и фактически сделал Новосибирск центром одонатологических исследований в стране.
В эти годы он опубликовал монументальную и первую в своём роде региональную трёхтомную монографию «Одонатофауна Сибири» и двухтомник «География стрекоз» .
В 1977 году Белышев создал первый в научном мире справочник «Определитель стрекоз по крыльям» для 75 родов мировой фауны, который был опубликован в Англии. Им и его коллегами было впервые обосновано выделение подотрядов стрекоз Caloptera Belyshev в 1977 году и Archeoptera Belyshev et Haritonov в 1985 году. Белышевым была собрана одна из крупнейших в мире коллекция стрекоз, насчитывающая около 30 тысяч экземпляров. При участии Бориса Фёдоровича в 1986 году в Новосибирске был проведён первый всесоюзный симпозиум одонатологов. Белышев стал автором более 230 публикаций, в том числе 176 одонатологических научных статей в отечественных и зарубежных журналах, нескольких книг и монографий. Профессор.Умер 9 марта 1993 года в Новосибирске.