Родился летом 1947 года в городе Карлтон (графство Ноттингемшир) в семье англо-бирманца Артура Джона Бекинсейла и англичанки Мэгги Барлоу.
В 15 лет он покинул школьные стены, дабы сосредоточиться на обучении актёрскому мастерству. Начав его в Ноттингеме, затем Ричард перебирается в Лондон, где его принимают в Королевскую академию драматического искусства. Завершив обучение, молодой актёр переезжает в Кру, где играет на сцене местного репертуарного театра.Бекинсейл дебютировал на телевидении в 1969 году, появившись в популярном сериале «Улица Коронации» .
Он сыграл полицейского, задерживающего престарелую героиню Вайолет Карсон. Наибольшую известность актёру принесло участие в ситкомах «Овсянка» и «Сдаётся комната» .Ричард Бекинсейл скоропостижно скончался 19 марта 1979 года от сердечного приступа.