Дочь писателя Милана Беговича и пианистки Паулы Бегович-Горшетич. Окончила школу в Гамбурге, академию музыки и сценического икусства в Вене. Там начала свою актёрскую карьеру, а впоследствии выступала в Штайре, Дубровнике и Загребе. Занимала должность режиссёра в театре Дубровника (1924—1926), также стала первым диктором радио Загреба (1926).
С начала работы на радио стала его ведущей, читала стихи, отрывки из романов и вела передачу для детей.
С 1938 по 1941 годы возглавляла Общество хорватских писателей и была соавтором его альманаха.
В 1945—1946 годы возглавляла Хорватский национальный театр.Первые десять лет Божена писала стихи и рассказы на немецком, потом стала публиковать сразу на двух языках и к зрелости уже перешла на хорватский язык.
В Институте славистики Граца сохранились её рассказы на немецком. Стихи на хорватском впервые опубликовала в 1923 году, издавая их в различных журналах: Dom i svijet, Vijenac, Hrvatska revija, Savremenik, Almanah, Hrvatski zenski list. Переводила на немецкий, чешский, французский языки и язык эсперанто творчество таких хорватских поэтов и писателей, как Марин Држич, Густав Крклец, Весна Парун, Миливой Славичек и многих других. Большая часть творчества Мирослава Крлежи была переведена Боженой на немецкий.
С французского и немецкого она переводила Райнера Марию Рильке, Стефана Цвейга, Паулу Прерадович, Оноре де Бальзака, Ги де Мопассана, Роберта Музиля, Стендаля, Жана Ануя, Генриха фон Клейста и Антуана де Сент-Экзюпери.