Родился в северном Белфасте, в националистическом квартале Ардойн. Поддерживал ирландских республиканцев и в принципе был ярым антимонархистом.
В январе 1993 года вступил во «временное» крыло ИРА, в Белфастскую бригаду и был отмечен командирами за боевой дух, ярость и высокую обучаемость: он разбирался в технике не хуже опытных членов бригады. Бегли участвовал в покушении на солдата Королевского ирландского полка Стивена Уоллера 30 декабря 1992: в результате нападения на дом в Белфасте был убит Уоллер, но его жена распознала Бегли.23 октября 1993 Бегли и несколько человек из его отряда активной службы получили данные от разведки: в тот день лидеры ольстерских лоялистских группировок (в том числе руководство Ассоциации обороны Ольстера и Джонни Эдер, лидер Ольстерских бойцов за свободу) назначили встречу в квартире над рыбным магазином Фриццелла на Шэнкилл-Роуд. Три волонтёра из родного города Бегли угнали синий Ford Escort и подъехали к рыбному магазину. Бегли и Шон Келли, одетые в белую униформу разносчиков, вошли в магазин, неся бомбу. Однако бомба взорвалась раньше времени: Бегли был убит на месте, от взрыва погибли член Ассоциации обороны Ольстера Майкл Моррисон и ещё восемь гражданских лиц, в том числе двое детей. Расследование установило, что Бегли собирался взорвать бомбу массой пять фунтов, которая срабатывала спустя 11 секунд после приведения в боевую готовность. Под суд в итоге попал Шон Келли.