Родился в городе Цареве Астраханской губернии, происходил из волжских рыбаков.
В 1895 году призван на военную службу во флот.
В 1897—1900 годах служил на учебном парусно-паровом судне матросом и боцманматом в Атлантическом океане, трижды ходил из Кронштадта к Антильским островам.
В должности боцмана участвовал в высокоширотной экспедиции Э. В. Толля на парусно-моторной шхуне «Заря» по изучению Новосибирских островов (1900—1902). Экспедиция закончилась гибелью барона Толля и трёх его спутников по санно-байдарочной партии, но Бегичев и основная часть экспедиции вернулись на материк.
В 1903 году Бегичев участвовал в поисках Толля. Санно-шлюпочная экспедиция под руководством лейтенанта А. В. Колчака на десяти нартах и вельботе достигла острова Беннетта (один из островов Де-Лонга). При переходе по морскому льду Бегичев спас жизнь своему командиру: .mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote{float: none;padding: 0.25em 1em;border: thin solid #eaecf0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-source{margin: 1em 0 0 5%;font-size: 105%}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq{margin: 0 -1em -0.25em}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavFrame{padding: 0}.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavHead,.mw-parser-output .ts-Начало_цитаты-quote .ts-oq .NavContent{padding-left: 1.052632em;padding-right: 1.052632em}Я шёл передом, увидел впереди трещину, с разбегу перепрыгнул её. Колчак тоже разбежался и прыгнул, но попал прямо в середину трещины и скрылся под водой. Я бросился к нему, но его не было видно. Потом показалась его ветряная рубашка, я схватил его за неё и вытащил на лёд… Но это было недостаточно — под ним опять подломился лёд, и он совершенно погрузился в воду и стал тонуть. Я быстро схватил его за голову, вытащил еле живого на лёд и осторожно перенёс… к берегу. Положил на камни и стал звать Инькова, который стоит возле трещины и кричит: «Утонул, утонул!» — совершенно растерялся. Я крикнул ему: «Перестань орать, иди ко мне!» . Мы сняли с Колчака сапоги и всю одежду. Потом я снял с себя егерское бельё и стал одевать на Колчака. Оказалось, он ещё живой. Я закурил трубку и дал ему в рот.
Он пришёл в себя. Я стал ему говорить — может, он с Иньковым вернётся назад в палатку, а я один пойду.
Но он сказал: «От тебя не отстану, тоже пойду с тобой» . Я пошёл по камням, были крутые подъёмы и спуски.
Он совершенно согрелся и благодарил меня, сказал — «в жизни никогда этого случая не забуду» ..mw-parser-output .ts-Конец_цитаты-source{margin: 0.357143em 2em 0 0;text-align: right}— В 1904 году, в русско-японскую войну, участвовал в обороне Порт-Артура на миноносце «Бесшумный» в должности боцмана. Был со всей командой интернирован в Циндао, куда в августе 1904 года миноносец прорвался из японской блокады. Награждён Георгиевским крестом за отличные действия в аварийной обстановке.После войны вернулся в Царёв, женился, но летом 1906 года снова уехал жить на север, в район нижнего течения Енисея, где занимался пушным промыслом, исследовал полуостров Таймыр.
В 1908 году в устье рек Хатанги и Анабара, впадающих в море Лаптевых, открыл два острова, впоследствии названные его именем — Большой Бегичев и Малый Бегичев.
В 1915 году возглавил доставку почты и эвакуацию на оленях части моряков с барка «Эклипс» , отправленного на поиски пропавших экспедиций Брусилова и Русанова, а затем с застрявших во льдах у северо-западных берегов Таймыра ледокольных пароходов гидрографической экспедиции «Таймыр» и «Вайгач» . Маршрут каравана из примерно 500 оленей пролегал по неизученной территории, до этого не посещавшейся европейскими путешественниками.
В 1916 году поселился в Дудинке.
С 1921 года участвовал в советско-норвежской экспедиции по поискам двух пропавших на Таймыре членов экспедиции Руаля Амундсена 1918—1920 годов на шхуне «Мод» и обнаружил останки одного из них.
В 1922 году в экспедиции геолога Н. Н. Урванцева спустился на лодке по реке Пясине и на берегу острова Диксон нашёл скелет другого спутника Амундсена.Весной 1926 года Бегичев во главе артели охотников ушёл в тундру. Долго от группы не было никаких известий, и только летом 1927 года вернувшиеся охотники рассказали, что он умер от цинги на зимовке у реки Пясины.