Отец учёного, выпускник Парижской Политехнической школы, был демобилизован из армии и направлен на создание общества железных дорог Севера.Анри Беген поступил в Высшую нормальную школу в 1894 году вместе с Полем Монтелем, Анри Лебегом, Полем Ланжевеном, Шарлем Пеги.
Он возглавил кафедру рациональной и прикладной механики в 1924 году после Альбера Шателе (фр.).
На следующий год он возглавил кафедру дифференциального и интегрального исчисления после Жана Шази (фр.).
Он читал подготовительный курс для студентов Морской школы (l"Ecole navale, 1899—1908 гг.), затем преподавал механику в этой школе (1908—1921 гг.).
В 1929 году он получил звание профессора в Париже, и вскоре стал работать в Парижской Политехнической Школе. Вместе с Гастоном Жюлиа он написал книжку упражнений по механике в 1930—1931 гг.
В 1941 году, когда Беген во время оккупации не мог выполнять исследования по системам наведения, он занялся вопросами работы двигателей внутреннего сгорания на бедных видах топлива, на газе и на растительном масле.
В 1946 году Анри Беген был избран членом Французской Академии наук.Овдовев, он повторно женился на одной из своих учениц в Лилле. Выдающийся теоретик, Анри Беген активно способствовал инженерам в реализации их изобретений.
В Лилле им был предложен высокоточный гирокомпас, способный удерживать фиксированное направление в пространстве, что необходимо для автоматического пилотирования в авиационной и морской навигации. Им была осуществлена доводка гиростатического секстанта и иных приборов, необходимых для прицельного бомбометания.Важным вкладом А. Бегена в механику стало введённое им в 1922 году понятие сервосвязей (независимо — и несколько раньше — к аналогичному понятию «волевых связей» пришёл Я. И. Грдина).
С течением времени оно нашло многообразные применения в теории автоматического управления, робототехнике, вычислительной механике.