Мать Алена Башунга — бретонского происхождения, работала на заводе резиновых изделий; отец — алжирец (Ален его не знал).
В 1965 г. Ален собирает группу les Dunces, они играют фольк и рокабилли. Собрав новый ансамбль, Ален выступает в провинциальных гостиницах и барах.
В 19 лет Башунг записывает свой первый сингл Pourquoi revez-vous des Etats-Unis и с того же времени профессионально занимается музыкой, в основном как аранжировщик для других певцов, и периодически выступает на концертах.
В 1968 г. он выпускает сингл Les Romantiques и на обложке пластинки убирает из фамилии букву с в целях её упрощения.
В 1973 Ален Башунг играет роль Робеспьера в мюзикле Клод-Мишеля Шенберга Французская революция (La Revolution francaise).
Он продолжает выпускать синглы и альбомы, но успехом у широкой публики не пользуется. Тем временем он знакомится с паролье Борисом Бергманом, который станет автором текстов ряда его альбомов.
В 1980 появлется песня Gaby, oh Gaby, которая становится хитом (более миллиона проданных экземпляров).
На следующий год выходит альбом Pizza, с новым хитом Vertige de l"amour. Благодаря этому успеху Башунг получает возможность выступить в престижном зале «Олимпия» .
В 1982 Башунг работает над новым альбомом Play blessures, совместно со своим кумиром Сержем Генсбуром. Альбом, замысленный как идейный отрыв от коммерческих хитов предыдущих лет, не имел большого успеха в своё время, однако сегодня считается одной из главных работ Башунга.Начиная с 1994 г. Башунг много времени посвящает съемкам в кино (впервые он снялся в 1981).
В 2002 г. Башунг записывает альбом Cantique des cantiques, основанный на новом переводе библейской Песни песней, выполненном писателем Оливье Кадьо . Диск записан вместе с новой женой Башунга (с 2001), актрисой и певицей Клоэ Монс (Chloe Mons).24 марта 2008 выходит альбом Bleu petrole, ставший последним для певца.
Он отправляется в турне и принимает участие в нескольких фестивалях. 20 июня 2008 года начинается серия концертов в «Олимпии» , несмотря на то, что певец проходит химиотерпию: у него рак лёгких.Ален Башунг умер 14 марта 2009 года в возрасте 61 года и похоронен на кладбище Пер-Лашез.Через несколько месяцев после его смерти поставлен балет L"Homme a tete de chou на музыку Сержа Генсбура (с одноименного альбома 1976 г.), для которого Башунг записал свой голос незадолго до смерти.
В ноябре 2009 выходит бокс-сет с альбомами Башунга A perte de vue на 27 CD.