Родился в семье политика Пьера-Жюля Бароша, президента Государственного совета, министра юстиции и сенатора при Наполеоне III.
В 1852—1870 годах был членом Законодательного корпуса Второй империи. Представлял Мант-ла-Жоли департамента Сена и Уаза. Промышленник, владелец кондитерской фабрики.
В 1862 году влюбился в парижскую куртизанку Жанну де Турбе, и до своей смерти в 1870 году содержал её, оставив состояние в 800 тысяч франков золотом (эквивалент 2,4 млн евро), что открыло де Турбе доступ к высшему обществу, позволило стать из дамы полусвета — «светской львицей» и вступить в брак с графом Виктором Эдгаром де Луаном. Э. Барош дрался на дуэли с журналистом и политиком Анри Рошфором.После сентябрьской революции, свергнувшей Наполеона III, его отец бежал в Англию, а затем на остров Джерси. Э. Барош вступил в ряды Мобильной национальной гвардии (фр. Garde nationale mobile). Служил командиром батальона.Во время Франко-прусской войны 30 октября 1870 года в битве при Ле-Бурже был ранен в глаз камнем от взрыва, но отказывается покинуть поле боя, перевязав голову, продолжил участвовать в сражении и был убит выстрелом в сердце.Кавалер ордена Почётного легиона.Похоронен на кладбище Пер-Лашез в Париже.