Родился в семье металлурга Николая Николаевича Барабошкина, директора Екатеринбургского аффинажного платинового завода (ныне АО «Екатеринбургский завод по обработке цветных металлов» ).1942 г. поступил на физико-технический факультет Уральского политехнического института (УПИ).с декабря 1943 по май 1945 г. воевал на фронте, окончил войну лейтенантом-артиллеристом.1952 г. окончил с отличием физико-технический факультет Уральского политехнического института (УПИ).1952—1958 гг. аспирант, работает ассистентом в УПИ.в 1958 г. защитил кандидатскую диссертацию, работает на должности младшего научного сотрудника в Институте электрохимии Уральского филиала АН СССР.с 1962 года Заведующий лабораторией в Институте электрохимии Уральского филиала АН СССР.с 1977 г. — директор Института электрохимии Уральского филиала АН СССР.в 1981 г. избран членом-корреспондентом АН СССР.в 1987 г. избран академиком АН СССР (с 1991 года — академик РАН).Был заместителем главного редактора журнала «Расплавы» , членом международного электрохимического общества, Научного совета по электрохимии и коррозии РАН, членом редколлегии журнала «Электрохимия» .А. Н. Барабошкин скончался 27 июня 1995 года. Похоронен в Екатеринбурге на Ивановском кладбище.
В 1964 г. доказал существование фазового напряжения при зарождении кристаллов на катоде в расплавленных солевых средах.
В 1970 г. создал теорию микрораспределения потока осаждаемого металла на катоде, а также обобщенную теорию текстур роста, связывающую направление оси текстуры ориентированного осадка с его огранкой и микрораспределением тока.
В 1972 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Электрокристаллизация металлов из расплавленных солей» .Разработал квазихимический подход к изучению электродных процессов в расплавленных электролитах, позволяющий управлять составом катодных продуктов. Благодаря его работам была создана и внедрена в производство технология гальванопластического получения изделий из тугоплавких металлов.