Родился в 1880 году в Тифлисе. Его старший брат — штаб-офицер для поручений при начальнике Главного управления военно-учебных заведений Николай Александрович Бахметев (1874—).Окончил Тифлисскую классическую гимназию с золотой медалью (1898), затем в 1902 году Петербургский институт инженеров путей сообщения.
В 1903 году он продолжил образования в Цюрихском политехническом институте.
В 1911 году защитил докторскую диссертацию в Институте инженеров путей сообщения.
С 1905 по 1917 годы он являлся профессором по кафедрам гидравлики, гидроэнергетики, теоретической и прикладной механики Петербургского политехнического института.Общественная деятельностьС начала Первой мировой войны Б. А. Бахметев стал заниматься общественно-политической деятельностью: в 1915 году он включился в работу Международного Красного Креста на территории Российской империи; он являлся членом Военно-промышленного комитета и Закупочной комиссии, которая занималась организацией поставок снаряжения для русской армии из США и Великобритании.
В 1917 году Бахметев стал товарищем (заместителем) министра торговли и промышленности Временного правительства.
Он явился инициатором создания в США Российского гуманитарного фонда («Бахметевский гуманитарный фонд» ), который он возглавлял в течение многих лет. Документы разнообразного характера, в том числе и дипломатические, русской эмиграции, которые он собирал долгое время явились основой организованного им архива российский и восточноевропейской истории и культуры Колумбийского университета США, который позднее был назван его именем.
Он также был директором организованного при его участии фонда помощи российским студентам.Миссия Бахметева. Посол России в СШАВ апреле 1917 года Временное правительство поручило Бахметьеву чрезвычайную дипломатическую миссию для ведения переговоров о получении займа у американского правительства для приобретения сельскохозяйственной техники и инвентаря. Руководителем миссии был назначен Бахметев; в качестве представителя Министерства земледелия в её состав был включен Н. А. Бородин. Миссия отбыла через Владивосток на Тихоокеанское побережье США, откуда специальным поездом переехала в Чикаго. Приезд российской делегации и пребывание в крупнейших городах Америки, включая Нью-Йорк, Вашингтон и Бостон, широко и очень благожелательно освещались в американской прессе.Новый посол ехал в США через Японию. Нам было интересно, что за дипломата посылает Временное правительство представлять себя за границу. Бахметев показал себя умным и блестящим человеком, но сильно отличался от наших представлений о русском дипломате. <…> Бахметева сопровождало около пятидесяти человек представителей различных министерств с женами, секретарями и даже друзьями секретарей. У всех было очень высокое жалование, невозможное в царской России.
В июне 1917 года миссия была преобразована в посольство России в США, а Бахметев назначен послом Временного правительства в США. После Октябрьской революции в России Бахметев остался в США и, формально оставаясь послом, он продолжил свою деятельность в Закупочной комиссии и в работе Русского информбюро в Нью-Йорке. Так как Конгресс критиковал правительство США за поддержку российских дипломатов, более не представлявших действительное правительство России, 30 июня 1922 года Бахметев ушёл в отставку.
Он взял на себя заботы об эмигрантах, прибывших из России в США, в том числе он помогал в обустройстве в США таким выдающимся деятелям науки как В. Зворыкин, О. Струве, И. Сикорский, С. Тимошенко.Бахметев принимал активное участие в разработке проектов документов для Парижской мирной конференции 1919—1920 годов.Научная деятельностьПосле подписания в 1922 году Рапалльского договора Советской России с Германией Бахметев вернулся к научно-инженерной деятельности.
В 1923 году им была открыта в Нью-Йорке консультационная фирма по вопросам проектирования гидравлических систем, а также он являлся одним из учредителей ряда других фирм научно-технического характера. Наиболее тесно Бахметев сотрудничал с фирмой «Lion Match Co» , в которой он являлся председателем совета компании.
В это же время он занимался научными исследованиями по гидродинамике — он исследовал переменные потоки жидкости в лаборатории гидравлики Колумбийского университета Нью-Йорка, а с 1931 года стал профессором кафедры гражданского строительства этого университета. Бахметев один из первых применил методы аэродинамики в гидродинамике, что открывало новые перспективы в развитии этой науки о течении жидкостей.Им были написаны получившие широкую известность такие научные работы по гидродинамике: «Переменные потоки жидкости» (1914), «Гидравлика открытых каналов» (1923), «Механика турбулентного движения» (1936).
В середине 1940-х годов Бахметев стал одним из членов — учредителей Американского Национального фонда Научных исследований, а также он входил в Национальный внешнеполитический совет, Ассоциацию прогресса науки, Академию наук историков Нью-Йорка и Коннектикута.Научные наградыЗа свою работу «Механика турбулентного движения» Бахметев был награждён Большой медалью общества дипломированных инженеров Франции.
Он также являлся лауреатом премий Дж. Лори (1937) и Дж. Стивенса (1944), которые были ему присуждены за заслуги в развитии прикладной науки.
В 1945 году он был избран почетным членом Американского общества гражданских инженеров, членом которого он являлся с 1917 года.
Он также являлся членом Американского общества инженеров — механиков и Института аэрокосмических наук.Бахметев являлся любителем и коллекционером работ российских живописцев (в его коллекции находилась картина Зинаиды Серебряковой «Спящая девочка на красном одеяле» ), а также коллекционировал русские иконы. Имя Бахметева носит основанные им Бахметевский гуманитарный фонд и Бахметевский архив российской и восточноевропейской истории и культуры Колумбийского университета.