14 июня 1941 года мать Римантаса, учительница начальных классов, была обвинена в антисоветской деятельности. Её с сыном, которому в тот момент не было трёх лет, выслали в Сибирь. Через 12 лет они вернулись на родину. Римантас после окончания семи классов школы поступил политехнический техникум.
В техникуме поначалу занимался боксом.
В 1955 году переключился на классическую борьбу.
В 1956 году на I Спартакиаде Литовской ССР стал чемпионом.
В 1959 году поступил в Киевский институт физкультуры и спорта.
В 1961 и 1963 годах становился чемпионом СССР в командном зачёте.
В 1965 году стал чемпионом мира.
В 1966 году готовился к участию в чемпионате мира в Толидо (США), но был объявлен невыездным сроком на десять лет.