Росс Багдасарян родился во Фресно, штат Калифорния, был младшим сыном Дика Багдасаряна и Вирджинии Сароян-Багдасарян, эмигрантов из Османской империи. Музыкант имеет армянское происхождение, кузен известного писателя Уильяма Сарояна, с которым некоторое время выступал дуэтом.
В 1939 году Росс дебютировал в бродвейской постановке пьесы The Time of Your Life, написанной Уильямом.
В 1941 году, после нападения японской палубной авиации на Пёрл-Харбор, Росс вступил в ряды американской армии, где и прослужил до конца Второй мировой войны.После её окончания Росс решил начать музыкальную карьеру. Первый успех пришёл к Россу как к композитору в 1951 году, когда в свет вышла песня «Come on-a My House» , записанная певицей Розмари Клуни. Автором слов к песне стал Уильям Сароян, текст основывается на диалогах из его романа «Человеческая комедия» . Первоначально песню на студии Coral Records записали сами авторы, выступая с ней на своих концертах, но настоящий успех пришёл к ней в исполнении Розмари Клуни.После этого Росс стал сотрудничать с другими исполнителями в качестве композитора.
В 1958 году он создал вымышленную музыкальную группу «Элвин и бурундуки» , выпускавшую реальные музыкальные альбомы на протяжении многих лет. Выступал на Бродвее, снимался в нескольких фильмах Альфреда Хичкока. Наиболее значительную роль в кино Росс сыграл в фильме «Окно во двор» .Росс-старший был найден мертвым от сердечного приступа 16 января 1972 года, за одиннадцать дней до своего 53-го дня рождения. Его тело кремировали в часовне Соснового Крематория в Лос-Анджелесе. Его прах был перемещен его сыном, Росс Багдасарян младшим.