Алексей Бачинский родился 21 марта (по старому стилю) 1877 года в городе Холм Люблинской губернии Российской империи в семье учителя математики, украинца, переселившегося в Россию из Австро-Венгрии.
В 1886—1895 годах обучается в холмской гимназии, по окончании которой приезжает в Москву и поступает на математическое отделение Физико-математического факультета Московского университета.
В 1899 году заканчивает университет и остаётся на кафедре физики. Уже в следующем году печатаются его первые две научные работы.
В 1907 году был утверждён приват-доцентом Московского университета.
В 1918 году состоит в должности профессора физики Московского университета и читает спецкурсы по термодинамике, статфизике и проч. разделам физики.
В 1930 году в результате тяжёлой болезни теряет зрение и прекращает педагогическую работу, однако, с помощью дочери продолжает заниматься наукой вплоть до своей кончины.Работы относятся по молекулярной физике и термодинамике, в частности по изучению поверхностного натяжения и вязкости жидкостей, зависимости давления насыщенных паров от температуры. Установил (1912 г.) закон вязкости жидкости (закон Бачинского).Один из организаторов первого советского научно-педагогического центра — Центрального физико-педагогического института (1919 г.). Автор школьных программ и многих учебников.
В учебниках «Физика для средних учебных заведений» (в. 1-3, 1915-18 гг.) и «Физика в трёх книгах» (1925; 1931 гг.) впервые для объяснения физических явлений последовательно использовались положения молекулярно-кинетической и электронной теорий, большое место уделялось законам сохранения; важным методом изложения учебного материала служил тщательно разработанный эксперимент. Связь теории с практикой устанавливалась через целесообразно подобранные, чётко и ясно описанные опыты и примеры из техники, жизни природы, повседневной практики. Учебники и учебные пособия, созданные Бачинским, издавались вплоть до появления в начале 1930-х гг. стабильных учебников по физике и оказали значительное влияние на преподавание физики в средней школе.Бачинский — автор одного из первых задачников по физике для школ 2-й ступени (1923, 1928), а также соавтор справочников по этому предмету для учителей и учащихся (1928, 1941, 1951-52). Инициатор выпуска и научный редактор «Рабочей школьной библиотеки» (1926-31) — серии книг по физике и технике для учащихся.