А. А. Бабанин родился 19 августа 1940 года в селе Матяш Прилузского района Коми АССР. После окончания КГМУ в 1965 он был оставлен для научной работы на кафедре топографической анатомии и оперативной хирургии, где проработал в должности ассистента с 1966 по 1978 год.
В 1967 году защитил кандидатскую диссертацию по теме «Состояние эвакуаторно-моторной функции желудка после резекций по некоторым модификациям способа Бильрот-2 в свете ранних эвакуаторных нарушений» .
В 1976 году защитил докторскую диссертацию по теме «Материалы к оценке достаточности способов соединения стенок желудочно-кишечного тракта» . После присвоения звания профессора (1980 г.) некоторое время заведовал кафедрой нормальной анатомии КГМУ, однако с 1982 года и по 2015 год заведовал кафедрой судебной медицины с курсом права.
В 1996 году избран ректором КГМУ.
С его деятельностью на посту ректора связывают преодоление вузом финансового кризиса постперестроечного периода и значительное повышение известности и престижа вуза за рубежом.
В январе 2015 года на фоне включения Крымского медицинского университета в состав новосозданного Крымского Федерального университета был уволен с должности ректора КГМУ указом главы Крыма Сергея Аксёнова. А. А. Бабанин является автором около 280 научных трудов (из них — 5 монографий) по различным вопросам морфологии, экспериментальной хирургии (в основном посвящённых различным методам соединений стенок органов ЖКТ) и судебной медицины (в основном посвящённых судебно-медицинской оценке последствий алкогольной интоксикации); подготовил 26 кандидатов и 5 докторов наук.
Он автор ряда изобретений; его исследования в области кишечных швов сыграли значительную роль в создании и введении в практику биологического шовного материала «Биофил» , производимого из твёрдой мозговой оболочки.