Баба учился в Кембриджском университете, который окончил в 1930 году. Научную работу начал под руководством Ральфа Фаулера.
В 1940—1945 годах работал в Индийском научном институте в Бангалоре, с 1942 года — в должности профессора.
В 1945 году стал инициатором создания и первым руководителем Института фундаментальных исследований Тата в Бомбее. Баба стал председателем Комитета по атомной энергии Индии (с 1947) и директором Атомного центра Тромбей (с 1957), который он также основал.Баба также являлся крупным общественным деятелем.
Он был председателем на первой конференции по мирному использованию атомной энергии в Женеве в 1955 году. 13-14 сентября 1955 года гостил в Запорожье: осмотрел Днепрогес, "Запорожсталь".Кроме того он несколько лет (1960—1963) возглавлял Президиум Международного союза чистой и прикладной физики (IUPAP), а также являлся членом Научно-консультативного совета МАГАТЭ.Погиб в результате катастрофы самолета Boeing 707, на котором направлялся на очередное заседание совета МАГАТЭ. Баба создал ряд научных трудов в области физики космических лучей, теории мезонов и частиц с высшими спинами, ядерной физики.
В своей работе 1935 года он впервые вычислил сечение электрон-позитронного рассеяния. Позднее электрон-позитронное рассеяние в рамках квантовой электродинамики получило название «Баба-рассеяние» в честь его вклада в эту область.
В 1937 году Баба совместно с Вальтером Гайтлером разработал каскадную теорию электронных ливней в космических лучах.
Он первым обнаружил и показал, что движущийся мезон имеет большее время жизни, чем покоящийся мезон, что полностью согласовалось с выводами специальной теории относительности о «замедлении времени» .