Анатолий Андреевич Черноскулов родился 6 декабря 1940 года в селе Большое Кабанье Кабанского сельсовета Шадринского района Челябинской области (с 1943 года Курганской области). Фамилию Азовский взял в честь горы Азов, расположенной в 8 км от г. Полевского Свердловской области.Отец, Андрей Иванович и мать Евдокия Ивановна работали в ремесленном училище на Полевском криолитовом заводе.
В 1956 году поступил в Свердловске в строительное училище № 69, окончил его плотником ІV разряда. Служил в Советской Армии.
В 1957 году работал плотником на строительстве Белоярской ГРЭС, в 1958 году на строительстве стана «В» Первоуральского новотрубного завода, в 1959 году на Медной горе (Гумёшевский рудник), в 1960—1961 годах участвовал в строительстве космодрома Байконур.
На Байконуре тяжело заболел и был комиссован, лечился в Камышловском госпитале инвалидов Отечественной войны.
В 1962 году поступил в Свердловский строительный техникум, на отделение «Строительные машины и оборудование» . После окончания техникума работал линейным механиком в Омутинской ПМК.
В 1966—1970 годах работал мастером на Свердловском заводе трансформаторов тока, техником-конструктором на оборонном предприятии «почтовый ящик Свердловск—79» . Работал в полевской газете «Северский рабочий» .
В 1966 году поступил в Литературный институт имени А. М. Горького в Москве, на заочное отделение.
В 1971 году переехал в станицу Багаевскую Багаевского района Ростовской области.
В 1971—1978 годах работал корреспондентом в газете «Светлый путь» . Параллельно вёл городское литобъединение при газете «Знамя коммуны» (в Новочеркасске).
В 1978—1987 годах работал литературным консультантом в молодёжной газете «Комсомолец» .
В конце декабря 1987 года вернулся в Полевской, работал в сфере дополнительного образования, вёл литературное объединение «Рассвет» сначала при ДК СТЗ, затем при Доме пионеров, Центре развития творчества детей и юношества. Организатор общества самодеятельных поэтов «Простор» (ДК Северского трубного завода).
С 1991 года член Союза писателей СССР (затем Союза писателей России).Анатолий Андреевич Азовский умер 12 ноября 2012 года. Похоронен в Полевском, на южном кладбище