Родилась 24 октября 1919 года в Боровске (ныне Калужской области) в семье землемера.
В 1933 году окончила школу-семилетку и поступила в Калужское медицинское училище. После окончания училища, в 1936 году была направлена на работу в Коми АССР.
В июля 1941 года добровольцем ушла на фронт, где служила фельдшером.
В начале 1942 году по беременности уволена из армии.
В 1943 году - восстановлена в армии, служила медсестрой в Сухумском госпитале до конца войны.
В 1945 году награждена медалью «За победу над Германией» . После окончания войны вернулась в Калугу.
В 1949 году поступила в Московский государственный художественный институт им. В.И.Сурикова, откуда перевелась на скульптурное отделение Московского института прикладного и декоративного искусства (МИПИДИ).
В 1953 году перешла в Московское высшее художественно-промышленное училище имени С.Г.Строганова в связи с расформированием МИПИДИ.
С октября 1954 года после окончании отделения скульптуры МВПХУ имени С. Г. Строганова начинает работать художником-скульптуром на Турыгинском заводе художественной керамикикооперативной гжельской артели «Художественная керамика» .Первыми её работами были скульптуры «Царевна-лягушка» , «Иван-царевич» , «Телятница» , «Девочка с курами» и другие. Основными мотивами их были иллюстративность и повествовательность.Затем Азарова создала серию сосудов-скульптур: сосуд-баран, сосуд-козлик, сосуд-верблюд и другие. Наибольшее внимание привлекли сосуды в виде женских фигур, унаследовавшие особенности русской глиняной игрушки.Далее были кувшин «Гжельский» , кружка-шутиха, квасник-сувенир «Петух» . Художница смело и свежо использовала традиции народного искусства.Эталонами эстетического наслаждения, получаемого от детального рассматривания, стали её фигурки «Близнецы» , «Читает книгу» , «Ставит самовар» .Жанровый стиль в творчестве Л. П. Азаровой сыграл заметную роль в развитии искусства советской Гжели.1960—1972 — главный художник завода «Художественная керамика» .
В этот период создано большое количество произведений самого разнообразного плана.
С одинаковым мастерством изготовлены «производственные вещи» , ориентированные на массовый выпуск, и выставочные произведения, демонстрирующие широту творческих возможностей.Именно её серия мелких скульптур высотой 1,5-2 см «Лошадь с жеребёнком» , «Свинья с поросятами» , «Ежи» заменила широко выпускавшиеся в то время натуралистические кукольные головки.
На многих выставках демонстрировалось её монументальное произведение «Свинарка» , воплощающее идею труда и мира на земле.
С 1972 года — художник объединения «Гжель» .Изделия Азаровой определяли «лицо» Гжели, становились для мастеров промысла стимулом к их собственной творческой деятельности. Работала на фабрике 48 лет,до 2002 года и создала 670 работ. Участвовала в 63 выставках, а её работы хранятся в 34 музеях и частных коллекциях.Основательница династии художниц-керамисток, работающихв гжельском стиле. Её дело продолжили доч Любовь Семёновна Донченко (1942-1990) и внучка Софья Александровна Овсянникова (р.1974).Л. П. Азарова скончалась 8 марта 2010 года. Похоронена на Николо-Архангельском кладбище.