Александр Авдеев родился 1 августа 1956 года в Куйбышеве. Активно заниматься греблей начал в раннем детстве в латвийском городе Елгава, состоял в гребной команде спортивного общества «Динамо» . Первого серьёзного успеха добился в 1977 году, когда в составе байдарки-четвёрки выиграл две золотые медали на первенства Советского Союза, на дистанциях 1000 и 10000 метров. Попав в основной состав национальной сборной, выступил на чемпионате мира в болгарской Софии, стал серебряным призёром на километровой дистанции и чемпионом на десятикилометровой. Год спустя вновь был лучшим в десятикилометровой гонке четырёхместных байдарок на всесоюзном первенстве, побывал на чемпионате мира в Белграде, откуда привёз ещё одну награду золотого достоинства.
В 1979 году Авдеев добился звания чемпиона СССР в заплывах четвёрок на 1000 и 10000 метров, в тех же дисциплинах соревновался на мировом первенстве в немецком Дуйсбурге, в первом случае взял бронзу, тогда как во втором третий раз подряд добыл золото. За эти достижения по итогам сезона удостоен почётного звания «Заслуженный мастер спорта СССР» . Через год защитил звание всесоюзного чемпиона на 1000 метров и благодаря череде удачных выступлений удостоился права защищать честь страны на летних Олимпийских играх 1980 года в Москве. Пробился в финальную стадию километрового зачёта четырёхместных байдарок, однако в решающей гонке финишировал лишь седьмым.После московской Олимпиады в карьере Авдеева наступил некоторый спад, он не попадал в основной состав сборной и не принимал участия в крупнейших международных турнирах. Тем не менее, в 1983 году ему всё-таки удалось вернуться в элиту мировой гребли, сначала состоялась победа на чемпионате СССР в категории K-4 10000 м, затем в той же дисциплине последовала победа на чемпионате мира в финском Тампере, четвёртая по счёту. Вскоре после этих соревнований Александр Авдеев принял решение завершить карьеру спортсмена, уступив место в сборной молодым советским гребцам.Ныне проживает в Риге. Имеет высшее образование, окончил Латвийскую сельскохозяйственную академию (ныне Латвийский сельскохозяйственный университет).Примечания Школьников Е. А. Динамо. Энциклопедия. — 2. — Olma Media Group, 2003. — С. 129. — 477 с. — ISBN 5224043999.