Родился в семье интеллигентов. Отец, Григорий Елисеевич Авалов, имел три высших образования, увлекался эпохой Возрождения.
Он и привил сыну любовь к искусству. Мать, Валентина Сергеевна Зимина, была архитектором по образованию. Ее семья до революции имела свой театр в Москве. Дядя Юрий тоже был художником.Авалишвили учился у Учи Джапаридзе, академика, преподавателя живописи на аспирантских курсах при Академии Художеств, Дмитрия Эристави, в будущем — декана кафедры графики в Академии, Гиви Церадзе, Ираклия Цицишвили.Несмотря на высокие оценки при поступлении в Академию, в число студентов Авалишвили не попал. Его мать обращалась во многие инстанции вплоть до министра культуры.
В итоге для Юрия было создано дополнительное место на курсе.Во время обучения познакомился с Джованни Вебхвадзе, Леонидом Семейко, Константином Игнатовым.После окончания Академии в 1988 году увлекся изучением Библии, после чего стал богословом-проповедником и учился протестантском богословию в трех институтах. Два года провел в Одессе, однако понял, что его призвание — живопись.