Родился в семье переселенца из города Гавара Адибека Авакьяна.
В 1963 году с отличием окончил юридический факультет МГУ. Обучался в заочной аспирантуре этого же университета.
В 1970 году защитил кандидатскую диссертацию «Вопросы правового регулирования деятельности местных Советов» ; в 1980 году — докторскую диссертацию «Правовое регулирование деятельности представительных органов власти в СССР (проблемы теории и практики)» .
С 1971 года работал на юридическом факультете МГУ старшим научным сотрудником, доцентом.
С 1983 года — профессор, с 1994 года — заведующий кафедрой конституционного права (с 2001 года — конституционного и муниципального права) юридического факультета МГУ.С. А. Авакьян читает курс конституционного права России и спецкурсы по проблемам судебного разрешения конституционных споров, российского парламентаризма, конституционно-правовых основ современного политического развития России.Был членом рабочих групп по подготовке ряда законов СССР, РСФСР, РФ, г. Москвы.
В настоящее время — сопредседатель Научно-экспертного совета по конституционному законодательству при Председателе Государственной Думы, член Научно-экспертного совета при Председателе Совета Федерации, Научно-методических советов при Центральной избирательной комиссии РФ и Уполномоченном по правам человека в РФ.С. А. Авакьян — один из ведущих российских учёных в области конституционного и муниципального права. Имеет более 225 научных публикаций, в том числе 7 монографий, 9 научных брошюр, главы в 9 коллективных монографиях, 2 учебниках, 3 учебных пособиях, 106 научных статей, 11 учебно-методических пособий; принимал участие в подготовке 5 юридических справочников и комментариев и др. Ряд его трудов издан на немецком, английском, голландском, венгерском, узбекском языках.Наиболее известные издания последних лет: «Политический плюрализм и общественные объединения в Российской Федерации: конституционно-правовые основы» (М., 1996); «Федеральное Собрание — парламент России» (М., 1999); «Конституция России: природа, эволюция, современность» (М., 1997, 2000); «Конституционное право. Энциклопедический словарь» (автор, руководитель авт. коллектива) (М., 2000); «Библиография по конституционному и муниципальному праву» (М., 2002); «Россия: гражданство, иностранцы, внешняя миграция» (СПб., 2003).
В 2010 году вышел обновлённый курс «Конституционное право России» .Главный редактор журнала «Конституционное и муниципальное право» .Член редакционной коллегии журнала «Государство и право» и серии «Право» «Вестника ЧелГУ» .Член редакционного совета журнала «Право и государство» .