Михаил Арапов родился 30 октября 1898 года в Санкт-Петербурге.
В 1918 году он был призван на службу в Рабоче-крестьянский Красный Флот. Участвовал в боях Гражданской войны.
В 1925 году Арапов окончил военно-морское училище, в 1927 году — штурманский класс Специальных курсов командного состава Военно-морских сил, в 1933 году — Военно-морскую академию.
С октября 1937 года служил на Тихоокеанском флоте, был помощником начальника штаба, начальником штаба, заместителем командующего флотом.
С августа 1939 года командующий Северной Тихоокеанской флотилии.
С февраля 1943 года Арапов руководил штабом Балтийского флота. Совместно со штабом Ленинградского фронта штаб флота во главе с Михаилом Ивановичем Араповым участвовал в подготовке и проведении Мгинской наступательной операции (июль — август 1943 года) войск Ленинградского и Волховского фронтов, а в сентябре — наступательной операции 67-й армии по овладению Синявинскими высотами.
С декабря 1943 года находился на лечении.
В июне 1946 года Арапов вышел в отставку по болезни. Умер 25 мая 1947 года, похоронен на Новодевичьем кладбище Москвы.