Апанасевич родился в деревне Староселье (Докшицкий район, Витебская область) в крестьянской семье. После окончания БГУ в 1954 году, начал работу в Институте физики, где стал одним из первых учеников академика Б. И. Степанова.
В 1958 году он защитил кандидатскую диссертацию, в 1968 году возглавил Лабораторию нелинейной спектроскопии (до 1994 года), читал лекции в БГУ.
В 1978 году Апанасевич был назначен заместителем директора института по научной работе. После смерти Б. И. Степанова в 1987 году стал директором и занимал этот пост до 1998 года, с тех пор состоит Почетным директором института.Под руководством Апанасевича защищена 21 кандидатская и 5 докторских диссертаций. Научные работы Апанасевича связаны с лазерной физикой, нелинейной оптикой и спектроскопией, теорией взаимодействия света с веществом.
На основе квантовой теории излучения предложил новый критерий классификации вторичного излучения. Одним из первых начал широко использовать метод матрицы плотности при рассмотрении вопросов взаимодействия света с веществом, обосновав использование балансных кинетических уравнений. Рассмотрел немарковские эффекты при воздействии мощного лазерного излучения на частицы вещества. Внес большой вклад в разработку теории параметрического рассеяния света (в частности, четырёхфотонного) и обращения волнового фронта.
В области лазерной и нелинейной оптики выделяются работы по теории комбинационного рассеяния света, генерации сверхкоротких лазерных импульсов, процессам синхронизации лазерных мод, двухфотонному поглощению света, светоиндуцированной дифракции.