Феликс Антипов родился в Москве; после окончания средней школы работал в оркестре, в качестве музыканта, «исполнителя на ударных инструментах и тромбоне» , служил в армии и много лет спустя говорил: «Наверное, если бы я не поступил в театральное училище, то остался бы музыкантом…» .
Но в Театральное училище им. Щукина, на курс Анны Орочко, он поступил с первой попытки.Ещё студентом Антипов получил три года условно за незаконные валютные операции; по окончании училища в 1968 году талантливого актёра готовы были взять к себе и Андрей Гончаров — в Театр им. Маяковского, и Юрий Любимов — в Театр на Таганке.
Но Гончаров, по свидетельству Антипова, сказал: «У вас такая ситуация, мы должны за вами присматривать… Вы должны понимать…» — в то время как Любимов на ту же тему высказался иначе: «Я твою ситуацию знаю, и, в общем, мне на неё наплевать» . Антипов отдал предпочтение Любимову, и с 1968 года служил в Театре на Таганке, где особенно пришлась ко двору его музыкальность — владение несколькими музыкальными инструментами, в том числе гитарой, и хорошие вокальные данные.
На ТаганкеНа сцене «Таганки» Антипов дебютировал в 1968 году в роли Мотякова в спектакле «Живой» по повести Б. Можаева и очень скоро стал одним из ведущих актёров театра.
В первые годы существования любимовской «Таганки» режиссёра часто упрекали в том, что актёрам в его спектаклях отведена несоразмерно малая роль, «Таганку» называли даже «театром без актёра» .
И хотя в этом театре, как некогда в мейерхольдовском ГосТиМе, актёр во все времена оставался, по словам критика, «строго определённой составляющей спектакля» , с течением времени «стая молодых» , начинавших вместе с Любимовым смелый театральный эксперимент, превратилась в плеяду крупных мастеров. Этот путь вместе с труппой прошёл и Феликс Антипов: как и все, он играл в ранних спектаклях Любимова чаще роли «от театра» или по нескольку эпизодических и по большей части безымянных ролей в одном спектакле, — ролей, в которых режиссёр предоставлял своим актёрам широкие возможности для самовыражения, но строить характер было не из чего.
Но были и Мармеладов в «Преступлении и наказании» , Чичиков в «Ревизской сказке» , Фёдор Карамазов, Фальстаф, Оргон в мольеровском «Тартюфе» , которого Антипов впервые сыграл в 1968 году и играл до своей смерти.О. Мальцева отмечала особенную увлечённость Любимова Феликсом Антиповым, занятым едва ли не во всех спектаклях поздней «Таганки» : вырастив мастеров, Любимов стал отводить в своих спектаклях особую роль актёру-художнику, не просто позволяя ему демонстрировать своё мастерство, но и непосредственно включая эту демонстрацию в действие; Антипов же, пишет критик, «по-своему символизирует азартного, жадного до игры таганковского актёра, каждый раз играющего, будто „дорвавшись“» .
И наслаждение, которое получал при этом актёр, Любимов включал в ткань спектакля, как, например, «феерическое жонглирование ролями» в «Борисе Годунове» , где Антипов играл Варлаама, Собаньского, Хрущёва, казака Карелу, Мужика на амвоне и ещё две безымянные роли.
В кинематографе актёр дебютировал в 1971 году в небольшой роли в «Драме из старинной жизни» , сыграл более двадцати киноролей.Умер Феликс Антипов 5 мая 2016 года в Москве после тяжёлой продолжительной болезни. Похоронен на Троекуровском кладбище.